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probleme

Posté par Z@z (invité) 18-10-03 à 19:17

soit n un entier naturel non nul . An=1*3*5*...*(2n-1)

1) Démontrer l'égalité : An*n!*2^n=(2n)!

2) En déduire ke le prouduit Cn=(n+1)(n+2)....(2n-1)2n, est divisible
par 2^n et ke pour tout entier naturel p, si Cn est divisible parb
2^p, alors p<(ou egal) n

Posté par Guillaume (invité)re : probleme 18-10-03 à 19:43

1)

An=1*2*3...*(2n-1)
on reconnait le produit des nombres impairs de 1 à 2n-1!

Pour demontrer  1) regardons a quoi correspond n!*2^n:
n!=1*2*3*...*n
ensuite je distribue les n "2" devant chaque terme:
n!2^n=(1*2)*(2*2)*(3*2)*....*(n*2)
=2*4*6*...*2n
la c'est le produit de nombres pairs de 2 à 2n

donc si j'écris
An*n!*2^n j'ai d'un coté le produit des nombres pairs et celui des
nombres impairs, ce qui fait le produit de tous les nombres compris
entre 1 et 2n ce qui vaut bien (2n)!

An*n!*2^n=(2n)!

j'avoue c  pas hyper simple, mais c un truc assez classique !
l'idée d c de prendre tous les 2 des nombres pairs et de les regrouper en
une puissance de 2...

2)


Dans Cn il manque le produit des nombres de 1 à n pour faire (2n)!
on peut donc ecrire:
Cn=(2n)! / n!

on a donc:
Cn=An n! 2^n / n! =An 2^n

donc Cn est un multiple de 2^n (le rapport valant An)

supposons que Cn est divisible par 2^p:
comme An n'est pas divisible par 2 (c que des impairs)
ca veut forcement dire que p<n
sinon on aurait An divisible par 2^(p-n) ce qui est impossible

A+



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