bonjour

l est tel que cosx=x => x= racine(2)/2 quelque soit u0

Sauf erreur

Philoux

oups, oubli le résultat numérique

cosx=x => x=0,739...

Philoux

oublie

Philoux

est-ce parce qu'il n'y a qu'une intersection entre y=cosx et y=x ?

Philoux

oui peut être je ne sais pas trop, mais ca ne suffit pas ce que tu mas dit, car ce théorème n'est valable que lorsque lon sait que UN est convergente, ce quon ne sait pas apriori...

maintenant, moi j'essayais de le démontrer, parce qu'après avoir démontré que cetten suite converge, la limite est facile, elle est telle que l = cos l. mais ce qui m'intrigue c'est sa convergence et surtout que cela se fait quelquesoit  la valeur de Uo

et en se servant de -1 <= Un <= 1 ?

Philoux

ben cé pareil, le fait quune suite soit bornée ne veut rien dire. une suite croissante majorée converge, une suite décroissante minorée également, mais une suite qui fait les deux et qui est bonée alors iren ne le prouuve. J'attend vos réponses

Bonsoir.

Quelle que soit la valeur de u₀, u₁ appartient à [-1;1], et donc u₂ appartient à [cos(1);1].
(Donc on peut examiner la situation à partir de ce rang)

Sur ce dernier intervalle la fonction cosinus est décroissante, donc u_n+1-u_n est du signe de -(u_n-u_n-1) - la suite n'est donc pas monotone - mais la fonction composée "cos o cos" est croissante,

or

donc est du signe de , et donc, de proche en proche, du signe de
(ce signe dépend de la place de u₂ par rapport à la solution de l'équation cos(x)=x))

De même on obtient du signe de

Bref une des suites (u_2n) et (u_2n+1) est croissante et l'autre décroissante.

Elles sont toutes les deux bornées, donc elles sont convergentes.

Reste à démontrer qu'elles sont adjacentes (on a le droit cette fois-ci d'utiliser le f(x)=x, la fonction cosinus étant continue).

Sauf erreur(s) et un peu compiqué (à expliquer entre autres)

Et un moyen pour faire remonter le post et avoir d'autres avis.

Bonne soirée à tous

Salut ...

Il suffit simplement d'appliquer l'inegalité des accroissements finis à f=cos sur [-1,1]...
De montrer que f est contractante sur [-1;1] et de conclure d'apres le théorème du point fixe ...

Matouille2b

Salut Matouille2b

oui mais les "accroissements finis" ne sont plus au programme de Terminale, et la notion de "fonction contractante" ne l'est pas...

Je disais ca pour aller plus vite, cependant on peut tout de meme batir un énoncé utilisant les outils de terminale ...

Soit f la fonction définie par f(x) = cos x

1.Soit g la fonction définie par g(x) = f(x) - x
Montrer en utilisant les variations de g que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution dans [0;1] que l'on notera l

2.On définit la suite (Un) par U0 dans [-1;1] et Un+1 = f(Un)

a.Montrer que pour tout entier naturel n, Un est dans [-  1;1]

b.Soit x dans [-1;1]
En utilisant l'inégalité |sin t| <= sin1 vrai pour tout    t dans [-1;1], montrer en utilisant une intégration que :
|cos x - cos l|<= sin1 |x - l|
Par la suite on notera k = sin1

c.En déduire que pour tout entier naturel n,
|Un+1 -l|<= k|Un-l|
Puis que |Un - l|<= k^n |U0 - l|

d.Montrer que lim Un = l




Voila sauf erreur ...

Effectivement, décortiqué comme ça, ça passe sans problème ! On dirait une leçon de CAPES