Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Probleme avec des équations différentielles
Voila j'ai un DM de math a faire mais je bloc sur le dernier exo. Si quelqu'un pouvait me donner quelques pistes et quelques résultats intermediaire pour m'aider a le faire ce serai cool.
Exercice:
Soit E1 l'ensembles des fonction solution de l'equa dif y'=y.
Soit E2 l'ensembles des fonction solution de l'equa dif y"=y.
Le but de l'exercice est de démontrer qu'il éxiste une unique fonction f qui appartient a E2, et qui vérifie f(0)=1 et f'(0)=0.
1. verifier que les fonctions définies sur R par x->ex et x->e-x sont des éléments de E2.
2. soit f une fonction derivable sur R, on pose u=f+f'
a- démontrer que f appartient a E2 ssi u appartient a E1.
b- Démonstration de cours.
Prérequis: la fonction x->ex est solution de E1.
Démontrer l'unicité de u élément de E1 qui vérifie u(0)=1.
3. Soit f un élément de E2. On pose pour tout réel x, g(x)=f(x)ex.
a- démontrer que si f vérifie f(0)=1 et f'(0)=0, alors g'(x)=e2x
b-Démontrer qu'il éxiste une seule fonction f répondant au probleme posé et déterminer son expression.
Merci d'avance 
Salut vinz_easy je vais essayer de t'aider
1°) les fonctions x--> e^x et x-->x^(-x) sont dérivables sur R donc tu dérives une première fois puis une seconde fois pour obtenir y" et tu remarques que pour les deux fonctions y"=y donc les fonctions sont des éléments de E2
2°) a. si u solution de E1 <--> u'(x)=u(x)
soit f"(x)+f(x)= f(x) + f'(x)
soit f"(x)=f(x)
donc f solution de E2 ssi u sol de E1
b. c'est une démonstration que tu as sûrement fait dans ton cours
3°) on sait que f(x) + f'(x) = e^x
soit g(x)e^(-x)+g'(x)e^(-x)-g(x)e^(-x)= e^x
soit g'(x)e^(-x) = e^x
donc g'(x)= e^(2x) [3]
Les seules fonctions vérifiant [3] sont les fonctions vérifiant de la forme
g(x)= (1/2)e^(2x)+K
or f(x) = g(x)e^(-x)
tu remplaces g(x) par sa formule.
ensuite tu dis que f(0)= 1 <---> 1/2 + K = 1
donc K = 1/2
et tu trouves f(x) ensuite tu vérifieras que f'(o)=0
J'espère que j'ai pu t'aider et que ton exercice te semblera plus clair.
lulune
bah merci je vais voir sa ce soir a tete reposée
pour la question 2 b je n'ai pas ce type de démonstration dasn mon cour.
quelqu'un peut m'aider??
Ya vraiment persone pour m'aider pour la question 2b????
Annuler
connectez vous