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problème avec les suites de l aide svp

Posté par justine (invité) 29-03-05 à 20:50

Bonsoir, j'arrive pas à me dépatouiller avec cet exo j'y passe des heures mais rien à y faire je n'y arrive pas. Est ce que l'un de vous pourrai m'aider.merci

(u_n) est la suite définie par u_0= 1 et pour tout entier naturel n , u_{n+1}=1+1/u_n

1)a) Vérifiez que pour tout entier naturel n, u_n>0
ça, ça va après ça se corse

b) Démontrer par récurrence que pour tout n > = 1,
3/2= <u_n= < 2

2) On note f la fonction définie sur ]0 ; +inf[ par f(x)= 1+1/x

Démontrer que pour tout réel x > = 3/2 et pour tout réel y > = 3/2,
|f(x)-f(y)| = < 4|x-y|/9   [1]

3)a)Si la suite (u_n) converge, quelle est sa limite l ?

b) Démontrer, en utilisant [1], que pour tout n > = 1 :
|u_{n+1}-l| = < 4|u_n -l|/9

c) Déduisez en par récurrence que
|u-n-l| = < (4/9)^{n-1}|u_1-l|

d) Démontrer alors que la suite (u_n) converge vers l.

Merci beaucoup de m'aider. bisous

Posté par
H_aldnoerre : problème avec les suites de l aide svp 29-03-05 à 21:16

slt

1) raisonement par récurence :
considerons la proposition 3$P_n:U_n>0

pour n=0 on a : 3$P(0): on a U_0=1>0 donc 3$P(0) vrai

supponson vrai la proposition initiale et demontrons celle au rang superieur c a d :
3$P(n+1):U_{n+1}>0
i.e.
3$P(n+1):1+\frac{1}{U_n}>0

or on a par hypothese de récurence :
3$U_n>0
i.e.
3$\frac{1}{U_n}>0
i.e.
3$1+\frac{1}{U_n}>1
i.e.
3$U_{n+1}>1

donc 3$P(n+1) vrai et la proposition est héréditaire donc pour tout 3$n\in\mathbb{N},U_n>0


2)raisonement par récurence :
considerons la proposition 3$P_n:\frac{3}{2}\le U_n \le 2

pour n=1 on a : 3$P(1): on a U_1=1+\frac{1}{U_0}=1+\frac{1}{1}=2 donc \frac{3}{2}\le U_1 \le 2 donc 3$P(0) vrai

supponson vrai la proposition initiale et demontrons celle au rang superieur c a d :
3$P(n+1):\frac{3}{2}\le U_{n+1} \le 2
i.e.
3$P(n+1):\frac{3}{2}\le 1+\frac{1}{U_n} \le 2
i.e.
3$P(n+1):2 \ge U_n \ge 1

or on a par hypothese de récurence :
3$\frac{3}{2}\le U_n \le 2
i.e.
2\ge U_n \ge \frac{3}{2}
i.e.
2\ge U_n \ge \frac{3}{2}\ge1
donc 3$P(n+1) vrai et la proposition est héréditaire donc pour tout 3$n\in\mathbb{N},U_n>0

Posté par
H_aldnoerre : problème avec les suites de l aide svp 29-03-05 à 21:16

oups a la fin du 2) c 3$U_n>1

Posté par
ma_corre suites 29-03-05 à 21:27

Bonsoir justine.
QPuisque la 1 a) est résolue, je t'indique la 1 b).  Une démo par récurrence doit être faite en deux temps.
a) montrer la propriété vraie pour la plus petite valeur possible de n. Ici, c'est n=1. On a : u_1=1+\frac{1}{u_0}=1+1=2 et donc \frac{3}{2}\le u_1\le 2.
De même, si n=2 : u_2=1+\frac{1}{u_1}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} et donc \frac{3}{2}\le u_2\le 2.
b) émettre l'hypothèse de récurrence "la propriété est vraie pour n" et montrer qu'elle est vraie pour n+1.  Ici :
HR : \frac{3}{2}\le u_n\le 2
Thèse : \frac{3}{2}\le u_{n+1}\le 2
On a : u_n\ge\frac{3}{2}\frac{1}{u_n}\le\frac{2}{3}.  Donc u_{n+1}=1+\frac{1}{u_n}\le1+\frac{2}{3}\le2.
De même,u_n\le 2\frac{1}{u_n}\ge\frac{1}{2}.  Donc u_{n+1}=1+\frac{1}{u_n}\ge1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Voilà pour la 1.

Posté par
ma_corre suites 29-03-05 à 21:38

Pour la 2), tu as :
|f(x)-f(y)|=|(1+\frac{1}{x})-(1+\frac{1}{y})|=|\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|=det(\frac{y-x}{xy})=\frac{|x-y|}{|xy|} (*).
Or, x\ge\frac{3}{2}|x|=x\ge\frac{3}{2} et y\ge\frac{3}{2}|y|=y\ge\frac{3}{2}, donc |xy|=|x|.|y|\ge\frac{9}{4}\frac{1}{|xy|}\le\frac{4}{9}.
En remplaçant dans (*), il vient la thèse :
|f(x)-f(y)|\le\frac{4}{9}|x-y|.
Voilà pour la 2.

Posté par
H_aldnoerre : problème avec les suites de l aide svp 29-03-05 à 21:44

pa mal ma_cor moi ki été en train de chercher alor la chapo !!

Posté par
H_aldnoerre : problème avec les suites de l aide svp 29-03-05 à 21:45

quant a la convergence de la suite avec ce que l'on a démontrer en récurence je pense que l'on doit trouver la limite ... non ?!?

Posté par
ma_corre suites 29-03-05 à 21:46

Pour la 3), si u_n converge, soit L sa limite.
De l'égalité u_{n+1}=1+\frac{1}{u_n}, on en déduit que L=1+\frac{1}{L}L^2=L+1L^2-L-1=0 qui est l'équation super connue de la recherche du nombre d'or \phi qui est la racine positive de cette équation (l'autre étant 1-\phi).
Tu as : \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.
C'est le 3) a).

Posté par
ma_corre suites 29-03-05 à 21:48

Bonsoir H_aldnoer.

Posté par
ma_corre suites 29-03-05 à 22:06

La 3) b) n'est pas nécessairement à démontrer par récurrence car :
n* : |u_{n+1}-L|=det{(1+\frac{1}{u_n})-(1+\frac{1}{L})} (car u_{n+1}=1+\frac{1}{u_n} et L=1+\frac{1}{L}) =|f(u_{n+1})-f(L)|\le\frac{4}{9}|u_n-L| par [1] du 2).
Voilà pour la b).

Posté par
ma_corre suites 29-03-05 à 22:09

Petite erreur de latex :
det{(1+\frac{1}{u_n})-(1+\frac{1}{L})}=|f(u_n)-f(L)|

Posté par
ma_corre suites 29-03-05 à 22:22

Pour la c), la récurrence est de mise :
1°) si n=1, on a : |u_2-L|\le\frac{4}{9}|u_1-L|
si n= 2, on a : |u_3-L|\le\frac{4}{9}|u_2-L|\le \(\frac{4}{9}\)^2|u_1-L|
2°) H.R.: |u_{n+1}-L|\le\(\frac{4}{9}\)^n|u_1-L|
Thèse : |u_{n+2}-L|\le\(\frac{4}{9}\)^{n+1}|u_1-L|
On a par 3) b) : |u_{n+2}-L|\le\frac{4}{9}|u_{n+1}-L| et par l'HR, on a : |u_{n+2}-L|\le\frac{4}{9}\(\frac{4}{9}\)^n|u_1-L|=\(\frac{4}{9}\)^{n+1}|u_1-L|.
Voilà pour le c)

Posté par
H_aldnoerre : problème avec les suites de l aide svp 29-03-05 à 22:22

voila du vrai raisonnement !!!

Posté par
ma_corre suites 29-03-05 à 22:50

Et voici l'apothéose :
\lim_{n\to\infty} u_n=L\forall\epsilon>0 , \exists{k}\in\mathbb{N} , \forall{n} : n\ge{k}\Rightarrow|u_n-L|<\epsilon
Soit \epsilon>0 quelconque.
On a : |u_n-L|\le\(\frac{4}{9}\)^{n-1}|u_1-L| si n\ge{2} (**)
Or |u_1-L|=|2-\frac{1+\sqrt{5}}{2}|=|\frac{3-\sqrt{5}}{2}|=\frac{3-\sqrt{5}}{2} et \(\frac{4}{9}\)^n est une suite convergente vers 0 et donc \forall\epsilon>0 , \exists{k}\in\mathbb{N} , \forall{n} : n\ge{k}\Rightarrow det{\(\frac{4}{9}\)^n}<\frac{2\epsilon}{3-\sqrt{5}}
En remplaçant dans (**), il vient :
\forall\epsilon>0 , \exists{k}\ge{2} , \forall{n} : n\ge{k}\Rightarrow|u_n-L|<\epsilon.
Voilà pour le d).


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