Inscription / Connexion Nouveau Sujet
probleme avec une suite
Bonjour a tous,
Voila, on me dit que l'on a une suite U(n) definie par son premier terme U(0) et par la condition U(n+1)=U(n)²+U(n)
On m'a demande de prouver que U(n) etait croissante:
OK car on a U(n+1)-U(n)=U(n)²>0
Mais juste apres on me demande de demontrer que si U(n) converge alors lim U(n) en +
=0
Comme on admet que U(n) converge et que l'on a vu que U(n) est croissante Je peux dire que lim U(n)=L en + Mais comment demontere que L=0?
MERCI pour l'aide
Bonjour shoulz!
En utilisant la relation U(n+1)-U(n)²-U(n)=0 et en prennant la limite à l'infini, on a L-L²-L=0 => L=0.
Isis
A nouveau bloqué:
On me demande de demontrer que si U(0)+U(0)²>0 alors U(n) diverge?
Je dois demontrer qu'avec cette condition lim U(n) en + est +, mais je ne vois pas comment?
J'essaye d'utiliser le fait que U(1)>0 mais bon....
Si U(0)+U(0)² > 0 alors U(0) > 0 comme tu le dis si bien. La suite ne peut converger vers 0 car elle est croissante. Ensuite tu peux utiliser le point précédent par contraposition.
Petit rappel: Si (A => B) alors (non B => non A)
Et tu as vu que u converge => u converge vers 0
Comme est elle croissante et qu'elle diverge...
Isis
>shoulz
Tu peux démontrer que les seules valeurs de u0 donnant la convergence sont 0 et -1, sinon ça diverge.
Courbes jointes u0=1
après u0=-1
Philoux
Merci Isiss
et philoux (qui assure toujours avec ses graphiques)!
avec u0=-1
En effet la courbe x²+x ne coupe y=x qu'en x=0
Philoux
Est ce que quelqu'un peut me dire comment fait Philoux pour tracer ces suites???
Si cela est necessaire pour que je comprenne ces graphiques, je veux bien mais je ne veux pas etre trop chiant...Merci
Tout a été dit. Isiss t'a clarifié la situation.
Une suite converge si tous les termes de sous-suites convergent.
Oui d'accord mais en ce qui concerne les courbes...comment les tracer et pourquoi il apparait la droite y=x?.
Shoulz, est-ce que tu as de la peine à comprendre la signification des graphiques de philoux? Si c'est le cas regarde sa première image. Il prend x0=1. On trouve x1 par x1=f(x0). Donc il a déssiné f, il monte depuis x0 jusqu'à f. La valeur de x1 se lit sur l'axe des y. En traçant la droite horizontale y=x1 et en prenant l'intersection avec la droite y=x, tu peux poser x1 sur l'axe des x (graphiquement) et remonter jusqu'à f pour trouver x2. D'où son "escalier" bleu.
Je ne sais pas si mon explication est compréhensible, mais j'aurais essayé...
Isis
Merci Isiss pour cette explication...
J'ai compris le raisonnement de l'escalier mais je me suis posé la question en ce qui concerne sa courbe rouge et la droite en pointillée.
Quesqu'il lui permet de tracer cette courbe rouge et cette droite?
Est ce que la droite en pointillée est identique pour toutes les suites? est elle une reference pour tracer les suites?
Merci d'avance pour votre patience face a ma comprehension assez difficile aujourd'hui
La droite pointillée est y=x et est pour construire l'escalier et expliciter les points fixes (possibles valeurs de convergeance). La fonction rouge vient de là: U(n+1)=U(n)²+U(n) => U(n+1)=f(U(n)) avec f(x)=x²+x.
ISis
Merciiiiiii Isiss je viens de presque tout comprendre...
Peux tu me confirmer que la droite y=x sera toujours presente pour construire une suite...
Oui, pour n'importe quelle fonction f:
->, on dessine f et y=x pour faire la construction graphique de U(n+1)=f(U(n)).
Isis
Dernie petite question et apres j'arrete:
On me demande de demontrer par reccurence que si U(0)²+U(0)< 0 alors on aura -1< U(n) <0
Est ce que je epux le demontrer en passant par la fonction
F(u(n))=F(x)=x²+x et utiliser les valeurs des x?
Étudier U(0)²+U(0)< 0 ou étudier x²+x < 0 est la même chose, il suffit de dire que tu as fait un changement de variable.
Je crois que tu es en train de chercher trop compliqué. U(0)²+U(0)=0 => U(0)=0 ou U(0)=-1. Un petit tableau de signes fera l'affaire.
Isis
Merci pour tous tes smileys, ça fait plaisir de voir que ce que j'ai raconté a été lu et a été utile. Et qu'en plus la personne que j'ai aidé est très sympa!
Isis
Bonjour,
Une réponse complémentaire pour shoulz sur l'utilisation de la première bissectrice D :
- c'est elle qui te permet de faire les différentes constructions un+1=f(un) par l'escalier,
- c'est elle qui te déduira la limite, si elle existe, de la convergence de la suite par l'intersection de C avec D.
Quant à l'outil qui te permet cela, c'est celui dont je t'avais parlé : sine qua none qui, à partir de l'expression un+1=f(un) ou un=f(n) te trace les courbes illico...
Philoux
Annuler
connectez vous