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problème calcul matriciel

Posté par
olapehtna 23-03-13 à 11:26

bonjour à tous, je rencontre une difficulté à propos d'un exercice portant sur le calcul matriciel, dont voici une partie de l'énoncé :

soit A = (2/3   1/6)
            (1/3   5/6)

1/ calculer A²

ma réponse : A² = (1/2   1/4)
                           (1/2   3/4)  

2/ montrer qu'il existe 3 entiers non nuls u, v et w tels que uA² +vA +wI =0

ma tentative de réponse :

je traduis uA² +vA +wI =0 par un système d'équations :

( (1/2)u +(2/3)v +w = 0
( (1/4)u +(1/6)v = 0
( (1/2)u +(1/3)v = 0
( (3/4)u +(5/6)v +w = 0

De là, impossible pour moi de trouver un triplet de solution autre que u=v=w=0
La calculatrice ne sait donner aucune solution non plus ...

l'erreur est-elle en amont ? Ou est-ce que je dois m'y prendre autrement ?

Merci d'avance.

Posté par
mathx96re : problème calcul matriciel 23-03-13 à 12:10

Bonjour,

on trouve bien des solutions (une infinité) non nulles, essaye de refaire le système (en supprimant peut-être une ligne puisque tu as 4 équations à 3 inconnues).


Mathx96

Posté par
olapehtnare : problème calcul matriciel 23-03-13 à 12:47

Ok merci, je supprime la troisième car il s'agit de la meme que la deuxieme.

Posté par
olapehtnare : problème calcul matriciel 23-03-13 à 13:09

en ajoutant la ligne 2 et la ligne 4 on obtient : u+v+w=0

est ce que cela suffit pour affirmer qu'il existe une infinité de solutions entières du système ?

Posté par
mathx96re : problème calcul matriciel 23-03-13 à 13:23

Non, regarde par toi-même !

Tous les réels ne vérifient pas la relation.

Tu t'es trompé lors de la résolution du système.

Posté par
olapehtnare : problème calcul matriciel 23-03-13 à 15:58

pourtant en ajoutant la deuxieme et la quatrieme ligne, on a : 1/4 u + 1/6 v + 3/4 u + 5/6 v +w = 0 <=> u + v +w = 0

Posté par
olapehtnare : problème calcul matriciel 23-03-13 à 18:44

quelqu'un peut il m'aider ? merci

Posté par
mathx96re : problème calcul matriciel 23-03-13 à 22:03

Le système c'est :

\Large \left\lbrace\begin{array}l L_1 : \dfrac{u}{2} + \dfrac{2*v}{3} + w = 0 \\ \\ L_2 : \dfrac{u}{4} + \dfrac{v}{6} = 0\\ \\ L_3 : \dfrac{u}{2} + \dfrac{v}{3} = 0 \\ \\L_4 : \dfrac{3*u}{4} + \dfrac{5*v}{6} + w = 0 \end{array}

ce qui est équivalent à :

\Large \left\lbrace\begin{array}l L_1 : 3*u + 4*v + 6*w = 0 \\ \\ L_2 : 3*u + 2*v = 0\\ \\ L_3 : 3*u + 2*v = 0 \\ \\L_4 : 9*u + 10*v + 12*w = 0 \end{array}


On a L_2 = L_3, on peut donc en supprimer une de notre système :



\Large \left\lbrace\begin{array}l L_1 : 3*u + 4*v + 6*w = 0 \\ \\ L_3 : 3*u + 2*v = 0 \\ \\L_4 : 9*u + 10*v + 12*w = 0 \end{array}


On réalise la combinaison linéaire suivante : 2*L_1-L_4 :

\Large \left\lbrace\begin{array}l 2*L_1-L_4 : 3*u + 2*v = 0 \\ \\ L_3 : 3*u + 2*v = 0 \\ \\L_4 : 9*u + 10*v + 12*w = 0 \end{array}



\Large \left\lbrace\begin{array}l 2*L_1-L_4 : 3*u = -2*v \\ \\ L_3 : 3*u + 2*v = 0 \\ \\L_4 : 9*u + 10*v + 12*w = 0 \end{array}



Or 3*u = -2*v 9*u = 3*(3*u) = 3*(-2*v) = -6*v, relation que l'on peut injecter dans L_4 pour faire disparaître u



\Large \left\lbrace\begin{array}l 2*L_1-L_4 : 3*u = -2*v \\ \\ L_3 : 3*u + 2*v = 0 \\ \\L_4 : -6*v + 10*v + 12*w = 0 \end{array}


\Large \left\lbrace\begin{array}l 2*L_1-L_4 : 3*u = -2*v \\ \\ L_3 : 3*u + 2*v = 0 \\ \\L_4 :v + 3*w = 0 \end{array}


D'ici, on pose w=k,k\in \R :


\Large \left\lbrace\begin{array}l 2*L_1-L_4 : 3*u = -2*v \\ \\ L_3 : 3*u + 2*v = 0 \\ \\L_4 :v = -3*w \\ \\ w=k\end{array}



De v=-3*w et  3*u = -2*v on obtient u=2*w et le système devient finalement :

\Large \left\lbrace\begin{array}l u=2*k \\ \\ v = -3*k \text{      }, k\in \R \\ \\ w=k\end{array}



Il y a bien une infinité de couples solutions : \Large \text{S} = \{(2*k ; -3*k ; k)| k\in \R\}


On a bien, pour k = 1 par exemple,

\Large 2*\begin{pmatrix}1/2&1/4\\1/2&3/4\end{pmatrix}-3*\begin{pmatrix}2/3&1/6\\1/3&5/6\end{pmatrix}+I_2 = 0_2


Mathx96

Posté par
mathx96re : problème calcul matriciel 23-03-13 à 22:04

Donc certes, u+v+w=0 est une condition nécessaire, mais non suffisante !


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