Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Problème d'algèbre linéaire
Bonjour 
Soit E, un
Pour
1. Etude de Im(f)
On suppose
Soit x appartenant à E. Montrer que
2. Etude d'un exemple
On suppose dans cette question que
a) Montrer que f appartient à
b) Déterminer une base de Ker(f) et de Im(f)
2. Etude de la somme de deux élements de
On suppose
(a) Montrer que si
(b) En déduire que
Montrer que dans ce cas,
Deuxième partie :
Il y a t'il plus élégant que de calculer fof pour trouver
J'ai
En vect, je vois pas (je crois que j'ai mis une grosse c******* sur mon brouillon
)
Pour la troisième partie, je n'arrive pas à commencer
une piste s'il vous plait
Merci
Skops
Je trouve que et que
est un plan vectoriel.
Une base de l'image s'obtient en faisant le "produit vectoriel" des deux vecteurs précédents : .
Je regarde pour la suite.
J'ai un doute... Je vais aller manger et je vérifierai mes petits calculs plus tard. En plus, je suis super crevé.
Sinon pour le ker tu résous ton système.
On arrive à
C'est une droite vectorielle dont tu détermineras facilement un vecteur directeur.
Oui
Ton kernel est une droite vectorielle, l'image sera donc un plan vectoriel. Il suffit de trouver deux vecteurs dans l'image non colinéaires et hop, on a une base.
J'ai un mari président d'un bureau de vote, donc je suis une femme seule et abandonnée... je suis venu voir à quoi ressemble l'ile la nuit...
Im(f)={f(x,y,z)|(x,y,z) € IR^3}
Im(f)={f(x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1))|(x,y,z) € IR^3}
Im(f)={xf(1,0,0)+yf(0,1,0)+zf(0,0,1)|(x,y,z) € IR^3}
C'est faux ?
Skops
Non, voir plus haut... tu donnes bien une famille génératrice, mais elle est liée. Jord a raison elle engendre un ssespace de dimension 2.
Oui mais dans l'expression du vect, il n'y a pas de y si ?
Et tu aurais une idée pour la troisième partie ?
Skops
Non mais ça dépend de la manière dont tu veux écrire ton noyau. Soit tu l'écris sous forme d'ensemble, soit comme un sev engendré par une base.
Je te fais le début pour la 3éme partie.
On a
On compose à gauche par f :
ie
(1)
On compose à droite par f :
d'où :
(2)
On en déduit de (1) et (2) que
Reste à prouver que c'est nul.
A toi de jouer, essaye de bidouiller les expressions en composant par ci par là.
Pour le 2éme c'est un peu pareil.
Supposons que
Or on a :
On en déduit que et donc d'après le résultat précédent fog=gof=0
je te laisse faire la réciproque
Re
Pour le 2ème réciproque, je peux dire que si fg=gf=0 alors fog+gof=0
En fait, je peux pas faire par équivalence plutôt que par double inclusion ?
Skops
Tiens c'est marrant j'ai eu un truc à peu près identique cet aprem en khôlle avec les valeurs propres et spectre d'un endomorphisme.
Re
Je suppose x appartenant à Ker(f+g)
(f+g)(x)=0
Je lance le calcul de f(x)
f(x)=-g(x)... mais ensuite ?
j'ai réussi à faire dans l'autre sens
Skops
Bonjour Skops
je ne sais pas trop où vous en êtes alors j'attaque la partie 3).
a) Si fog+gof=0, il est clair que fog=-gof et Jord a montré que fog=gof. Alors gof=-gof donc gof=0.
b) (f+g)o(f+g)=fof+(fog+gof)+gog=
(f+g)+(fog+gof), donc c'est clair.
L'inclusion Ker(f)
Ker(g)
Ker(f+g) est toujours vraie.
Soit x dans Ker(f+g). Alors (f+g)(x)=0, d'où f(f+g)(x)=0, fof(x)+fog(x)=0. On sait que fog(x)=0; il reste fof(x)=0=f(x)=0 et comme 
0, on a bien f(x)=0 donc x est dans Ker(f).
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac