salut soit x le nbr de pièces de 10€ , 5€ et 2€
                      y le nbr de pièces de 1€ , 0,5€ et 0,2€
                      z le nbr de pièces de 0,10€ , 0,05€

alors  17x + 1,7y + 0,15z = 2014  qui s'ecrit aussi 1700x+ 170y + 15z = 201400
on divise tout par 5 , soit  340x + 34y + 3z = 40280 .
34.(10x+y) + 3z = 40280 .  en posant N = 10x+y  il vient  34.N + 3z = 40280
qui donne pour solutions :  N = 1175 + 3k    et z = 110-34.k   en choissant k = 0  on a donc
N = 1175 et  z = 110 , reste à résoudre  10x + y = 1175  qui donne à son tour pour solution
x = 116+p  et y = 15-10p  en choisissant  p = 0 il vient  x = 116  , y = 15

on a donc x =116  y = 15 et z = 110

verification  :17*116 + 1,7*15 + 0,15*110 = 2014    c'est une solution possible il peut y en avoir d'autres....

oups ! j'ai oublié une contrainte sur le nbr total de pièces  , ne pas tenir compte de ma precédente réponse ..
3x +  3y + 2z = 2014
à resoudre avec 340x + 34y + 3z = 40280.

soit
3x +  3y + 2z = 2014  pour le nbr total de pièces
340x + 34y + 3z = 40280   pour le montant total  il y a qu'a fixer z comme inconnue secondaire

on a alors  3x + 3y = 2014 - 2z
                   340 x + 34 y = 40280 - 3z

exprimer x et y en fonction de z

x  = (59.z+52364)/918
y= (-671.z+563920)/918

et trouver z de sorte que x et y soient des entiers ...

Bonjour,

autre méthode (spé maths hein ..)

éliminer (par addition) z entre les deux équations
3x + 3y + 2z = 2014 * -3
340x + 34y + 3z = 40280 * 2
----------------------------------------
671x + 59y = 74518

équation dite "de Diophante" que l'on résout comme d'hab (algorithme d'Euclide) et qui donne les solutions dans Z

x = x0 + 59k
y = y0 - 671k, k parcourant Z

on reporte ces valeurs dans 3x + 3y + 2z = 2014 ce qui donne une nouvelle équation de Diophante en les inconnues k et z

ce qui donne k = k0 + ...m
z = z0 + .... m
où m parcourt Z

on reporte cette valeur de k dans x et y

et on obtient

x = x0 + ...m
y = y0 - ... m
z = z0 + ... m

ou m parcourt Z
ce qui est l'ensemble de toutes les solutions dans Z du système de départ.

on résout le système d'inégalités en m
x 0
y 0
z 0
ce qui donne la / les valeurs de m qui conviennent, et donc la / les valeurs de x, y, z

tout ceci sans jamais avoir eu besoin "d'essayer" des valeurs.
pas dit du tout que, au vu des valeurs numériques, ce soit vraiment plus simple, mais "intellectuellement" cela me semble plus satisfaisant que "de sorte que x et y soient des entiers ..."
quoique ... "de sorte que x = (59.z+52364)/918 soit un entier"
est résoudre l'équation de Diophante en les inconnues x et z : 59.z+52364 = 918.x
mébon, il faut aussi que -671.z + 563920= 918.y
et donc il faut alors faire l'intersection des deux ensembles de solutions pour z ...
(ce qui revient d'ailleurs à écrire une équation de Diophante en les paramètres k et k' des deux ensembles de solutions)


chacun choisit la méthode qu'il veut.
au moins on a le choix.