c'est quoi le degré de tes polynomes?

la première isée qui me vient à l'esprit c'est de les expliciter voir A(X+1)+A(X) est égal à quoi!! et faire l'égalité des coefficients du même degré

Salut Izaabelle

Il n'y a pas de degré limite, donc impossible de les expliciter

(par contre je sais d'apres une autre question que la restriction à Rn[X] est bijective si ça peut suciter d'autres idées :p)

Nil.

une petite question: est ce que l'ensemble des plynomes à coefficients dans R et de degré infini (comme dans ce cas-ci) est de dimension infinie??

une idée qui est probablement erronée :s , en travaillant par récurrence sur le degré ça pourrait peut être marcher !!!

je suis loin d'être calée sur ça!

Je suppose que oui pour la dimension infinie, parce qu'il sera difficile de trouver une famille génératrice dans R[X] finie :p

Peut etre que la récurrence est une bonne idée, il faut que j'essaye

ok tu me diras si ça marche avec la reccurence .. bon courage

oki
Merci en tout cas.

Nil.

Bonsoir.
Appelons le polynôme et l'application linéaire du problème. Le calcul de () donne un polynôme de degré n.
Alors l'image de la famille () donne une famille échelonnée par les degrés donc libre. Le seul polynôme P tel que (P) = 0 est 0, donc Ker() = {0}.
Conclusion : est injective.
Cordialement RR.

Oups!! j'avais complétement oubliée de penser au noyau!!

Bonsoir
si nous etions en dim finie nous aurions pu etudie le noyau mais ce n est pas le cas

reprenons l egalite precedente :

X

A(X+1)+A(X) = B(X+1)+B(X)
A(X+1)-B(X+1)=B(X)-A(X)
notons P= A-B
donc P(X+1)=-P(X)
ensuite etudions sur les intervalle du type [n;n+1] P est continu est change de signe puisque P(n+1)=P(n)(ou sinon P(n)=P(n+1)=0)
donc d apres le theoreme d valeurs intermediares il existe ds [n,n+1] td P()=0

donc P possede une infinite de racines c'est donc le polynome nul
donc pr tout X,   A(X)-P(X)=0 dc A=B

voici l idee....

Pour aicko : on peut chercher le noyau en dimension quelconque, fort heureusement d'ailleurs. En effet, dès que l'on est dans des espaces vectoriels de fonctions, plus question de dimension. Et pourtant dans les équations différentielles linéaires (par exemple), on parle bien du noyau.
Cordialement RR.

Bonsoir, et merci à vous tous.

Je m'interroge : Je viens de consulter mon cours et un livre de référence, et il n'est indiqué nul part que E doit être de dimension finie pour utiliser la propriété :

f injective <=> ker f = { 0 }

Nil.

j'en apprend des choses avec vous

pour Nil: comme le dit raymond, on parle de noyau sans prendre en compte les dimensions. l'année dernière un prof m'avait expliqué pourquoi quand le noyau se réduit à l'élément neutre l'application est injective, mais vois-tu je ne m'en rappelle plus du tout!!

J'ai fait la démonstration il n'y a pas longtemps izaabelle, je m'en souviens

Si tu supposes f injective,

soit x€ker f , alors f(x) = 0 = f(0) donc x = 0 et kef f inclu dans {0} et comme l'inclusion réciproque est évidente, ker f = { 0 } .

Et réciproquement,

si ker f = {0}

soient a et b dans E tels que f(a)=f(b)
alors f(a)-f(b) = 0
donc f(a-b)=0
a-b€Ker f et pour finir a = b

Raymond : je n'arrive pas a voir le lien entre "Le seul polynôme P tel que phi(P) = 0 est 0" et ce qui précède : o

Nil.

Rebonsoir ! Pour izaabelle.
Soit u linéaire d'un K-ev E dans un K-ev F.
1°) On suppose u injective : u(x) = u(y) entraine x = y.
x dans Ker(u) signifie u(x)=0, qui s'écrit : u(x)=u(0), donc x = 0 par injectivité. Ker(u)={0}
2°) On suppose Ker(u)={0}. u(x)=u(y)implique u(x)-u(y)=0 et u(x-y)=0 (contribution de la linéaité). Donc x-y dans Ker(u), et par hypothèse x-y=0, donc x=y : u injective.
Cette preuve s'applique aussi aux groupes, même non abéliens.
Cordialement RR.

en fait Nil, quand je disais que j'avais eu l'explication de cette équivalence, je ne parlait pas de la demonstration mais du sens concret des choses, en dessinant des ensembles (comme le disait une autre prof d'algèbre, on voit bien les choses si on considère qu'une pomme de terre est un ensemble )

Ah oui en effet
Eh bien là je dois dire que je ne sais pas

:D

Pour Nil :
(P) = 0
() = 0
) = 0 et par indépendance
=0 pour tout k, donc, P = 0.
Désolé pour ce retard, mais latex me pose encore bien des problèmes. Cordialement RR.

Merci encore

Nil.