pour la question 2)a) on peut utiliser la méthoe de la division euclidienne si tu l'as déjà vu. Sinon tu peut répondre en tatonnant: tu vois que R(X)= 2x²+5x+5

Bonsoir

Que sohaitez vous avoir ?
le corrigé complet.
Si oui, le voilà :

1.     Soit g la fonction définie sur  par g(x) = x2- x.
       Je vous laisse le soin de faire cette question (je n'ai pas la possibilité de faire la courbe sur
       ce post).

2.     On considère la fonction P définie par P(x) = 2x3 + 3x2 - 5 .
        a) Déterminer l'expression de R(x) tel que, pour tout réel x, on ait : P(x) = (x-1) R(x)
        P(x)=2x3 + 3x2 - 5=(x-1)R(x)=(x-1)(ax²+bx+c)
        En effet R(x) est de degré 2 puisque P(x) est de degré 3 et que (x-&) est en facteur donc
        R(x) s'écrit sous la forme ax²+bx+c
        P(x)=ax3+(b-a)x²+(c-b)x-c.
        Par identification de chaque terme; il vient
        a=2
        b-a=3 ==> b=3+a=5
        c-b=0 ==> c=b
        c=5
        R(x)=2x²+5x+5
        
b) En déduire le signe de P(x) suivant les valeurs de  x
        R(x)=2x²+5x+5
        On résout 2x²+5x+5=0
        le discriminant D= 25-4*5*2=25-40=-15<0
        pas de racines réelles.
        2x²+5x+5>0 quelque soit x réel
        P(x) est du signe de (x-1)
        P(x) positif pour x>1 et négatif pour x<1.

3.     On considère la fonction f définie sur -{-1}, par f(x) = (x3-x+4)/(x+1) et Cf sa courbe représentative dans le repère (O ;i ;j).
        a) Pour tout x de D ensemble de d&éfinition de f
           f'(x)= ((3x²-1)*(x+1)-(x3-x+4))/(x+1)²
           f'(x)= (3x3+3x²-x-1-x3+x-4)/(x+1)²
           f'(x)= (2x3+3x²-5)/(x+1)²
           et le résultat.

        b) En déduire les variations de f
           f'(x) est du signe de P(x) du 3)a).
           f'(x)>0, x>1 et f'(x)<0 qd x<1.
           donc f est décroissante pour x<1 et croissante pour x>1.

        c) Déterminer les limites de f aux bornes de Df
           f(x) tend vers +infini quand x tend vers +/- infini comme polynôme de degré 2 (car quotient
           de polynôme de degré 3 sur polynome de degré 1)
        d) Dresser le tableau de variations complet de f
           je vous laisse compléter le tableau sur la base des informations ci-dessus.

4.     a) Montrer que, pour tout x  Df, on peut écrire :
            f(x) = g(x) + a/(x+1) où a est un réel que l'on déterminera.
            f(x)=(x3-x+4)/(x+1)=ax²+bx+c)/(x+1)
            f(x)=((x²-x)(x+1)+4)/(x+1)
            f(x)= (x²-x)+4/(x+1) donc a=4 et le résultat.

        b) Déterminer les limites en +infini et en -infini de f(x) - g(x)
           f(x)-g(x)=4/(x+1)
           la limite de f(x)-g(x) est donc celle de 4/(x+1) sui tend vers 0 en +/- infini.

        c) Etudier la position relative de Cf et Cg
           f(x)-g(x)=4/(x+1) >0 pour x>-1
           Cf est au-dessous de Cg sur ]-infini;-1[ et au-dessus sur]-1;+infini[
        d) Tracer Cf et Cg
           --------
Cordialement

FF

Bonsoir FF,

Tout d'abord un grand merci pour ce corrigé complet
Juste un petit détail, pour la question il est demandé de Tracer Cg en JUSTIFIANT.
Faute de logiciel permettant de tracer le graph, pourriez-vous, tout de même, "justifier" ?

Sinon, hormis cela, rien à redire.

Grand Merci
Cordialement

Bonjour

Pour justifier la construction de Cg courbe de g(x)=x²-x sur R
on peut réécrire g(x) sous la forme (x-1/2)²-1/4 (car identité remarquable
(x-1/2)²=x²-x+1/4).
EN effectuant un changement de repère X=x-1/2 et Y=y+1/4
g(x) s'écrit Y=X² dans le repère (O', vectO'X,vectO'Y) avec O'(1/2;1/4)
Il s'agit d'une parabole d'axe [O'Y) dans le repère [O', vectOX,vectOY]

Pour le tracé, il suffit de placer le point O'(1/2;1/4) et de tracer la parabole dans ce repère.
En espérant que l'explication est claire.
Bonne journée

FF

Bonsoir FForg,

Tout d'abord, merci beaucoup de votre aide.
J'ai juste une petite notification pour vous.
Pour le 3c) de l'exercice, pourriez-vous mettre un peu plus de détails quant aux limites de f ?
Vous m'avez donné le résultat final mais comme sur une copie il faut rédiger et que lorsque j'applique mon cours pour les limites de cette fonction, je trouve des Formes Indéterminées, je suis un peu coincé...
Comment avez-vous procédé ? Quel est l'astuce de calcul pour trouver une fonction f sans F.I ?

Merci bcp.

Cordialement

C'est bon, le problème a été résolu.
Merci beaucoup pour votre investissement FForg.

Cordialement

Bonjour, comment avez vous déterminer les points a b et c à la question 2 ? Je n'ai pas compris,  merci d'avance