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Problème de congruence

Posté par
lulianna 15-11-15 à 14:48

Bonjour, j'ai cet exercice a traiter pour la spé maths:
Montrer que,n,24^n - 2 est divisible par 7.

J'ai commencé l'exercice mais je ne tombe pas sur le bon resulat... Je pense qu'il y a une erreur dans mon raisonnement mais je ne vois pas laquelle...
Voici ce que j'ai fait:

Etudions le reste dans la division euclidienne de 4n par 7
44[7] , 422[7] et 431[7].
Donc:
-Pour n0[3], 4n1[7] donc 24^n2[7] donc 24^n-20[7]

-Pour n1[3], 4n4[7] donc 24^n24[7] donc 24^n-20[7]

-Pour n2[3], 4n2[7] donc 24^n4[7] donc 24^n-22[7]

Voila voila... Je ne comprends pas pourquoi je n'ai pas 24^n0[7] à chaque fois...

Posté par
Labore : Problème de congruence 15-11-15 à 15:50

Bonjour,
tes calculs sont justes .
  l'énoncé comporte une erreur
si n=3k  +1( k  )
alors  (2^4)^n-2 \equiv 0  [7]

Posté par
luliannare : Problème de congruence 15-11-15 à 15:57

Je suis désolée, mais je ne comprends pas

Posté par
luzakre : Problème de congruence 15-11-15 à 16:00

Bonjour !
Vérification que tu aurais pu faire tout seul : 2^{4^2}=2^{16}=65536 qui est congru à 2 modulo 7.
Il y a donc une faille dans tes raisonnements : celle de croire que les congruences se "transmettent" aussi dans les exposants. As-tu démontré que a,b congrus modulo 7 implique 2^a,2^b congrus modulo 7 ? Tu vois bien que c'est faux pour a=16,\;b=2

Posté par
luliannare : Problème de congruence 15-11-15 à 16:08

Ah oui je vois !
C'est vrai j'aurais dû verifier mais je pensais vraiment que ça marchais...
Du coup je sais plus trop comment traiter cet exo... J'ai essayé par recurrence mais je n'ai aboutit a rien...

Posté par
mdr_nonre : Problème de congruence 15-11-15 à 16:34

bonjour : )

la récurrence fonctionne bien... mets jusqu'à l'endroit où tu bloques,

sinon on peut le faire en utilisant le binome de Newton, peut être une notion qui n'est plus enseignée au lycée...

\large 4^n = (3 + 1)^n = \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}3^k = 1 + \sum_{k=1}^n\binom{n}{k}3^k = 1 + 3\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}3^{k-1} = 1 + 3p,  p = \sum_{k=1}^n\binom{n}{k}3^{k-1} \in \mathbb{N} \\ \\ \text{donc } 2^{4^n} = 2^{1 + 3p} = 2\times\left(2^{3}\right)^p = 2\times8^p \equiv 2  [7]

et on conclut,

Posté par
mdr_nonre : Problème de congruence 15-11-15 à 16:36

c'était quand même une erreur intéressante que t'as faite car ça a fonctionné pour deux cas,

exemple en modulo 2 :
si n = 1, alors 2^n = 2 = 0, a-t-on 2^(2^n) = 2^0 = 1 ?
non car 2^(2^n) = 2^2 = 4 = 0 !

tu vois qu'il y avait un souci...

Posté par
carpediemre : Problème de congruence 15-11-15 à 17:02

salut

le binome n'est plus vu au lycée ...

par contre  2^{4^{n + 1}} - 2 = (2^{4^n})^4 - 2

il suffit donc de tester n = 0, 1, 2, 3 ....

Posté par
luliannare : Problème de congruence 17-11-15 à 18:53

Alors en fait pour ma récurrence, je tombe pas sur le bon résultat non plus... Je ne pense pas que ce que je fait soit mathématiquement correct en fait vu que c'est la premiere fois que je fait de la récurrence avec des congruences
Voici ce que j'ai fait:

(j'ai préalablement fait l'initialisation qui, elle, fonctionne bien)

Supposons que le proprieté est vrai pour un certain rang k réel et démontrons alors qu'elle est vraie au rang k+1:


2^4n-20[7] 16n - 20[7]
162[7] : 16n x 16 2x2 [7]
Voila voila... Je suppose que ce n'est pas vraiment ça...

Le binôme de Newton n'est effectivement pas enseigné au lycée... Ca sert dans la récurrence ?

Posté par
mdr_nonre : Problème de congruence 18-11-15 à 05:52

on souhaite démontrer que pour tout entier naturel n, 2^(4^n) - 2 est divisible par 7,

initialisation,
si n = 0, 2^(4^n) - 2 = 2^1 - 2 = 0 est bien divisible par 7,

hérédité,
on suppose que la propriété est vraie pour un rang n, c'est à dire que 2^{4^n} \equiv 2  [7]
et on souhaite montrer qu'elle l'est encore au rang suivant n + 1, c'est à dire que 2^{4^{n+1}} \equiv 2  [7]

2^{4^n} \equiv 2  [7] (hypothèse de récurrence)
\Rightarrow  (2^{4^n})^4 \equiv 2^4  [7] (utilisation d'une propriété des congruences
\Rightarrow  2^{4^{n+1}} \equiv 2  [7] (car (2^{4^n})^4 = 2^{4^{n+1}} et 2^4 = 2^3\times2^1 = 8\times2 \equiv 2  [7])
l'hérédité est établie,


il y a plusieurs soucis dans ta récurrence,
tu parles de rangs k et k + 1 mais tu écris avec des 'n'...
\large \red \boxed{2^{4^n} \neq 16^n} c'est \large \red \boxed{2^{4\times n} = (2^{4})^n = 16^n}

\large \red \boxed{a^{m\times n} = (a^m)^n = (a^n)^m}


Citation :
Le binôme de Newton n'est effectivement pas enseigné au lycée... Ca sert dans la récurrence ?
non, si tu relis le message avec le binôme tu verras qu'il suffit, à lui seul, à démontrer la propriété...

Posté par
mdr_nonre : Problème de congruence 22-11-15 à 20:39

Pour tout entier naturel n, 4^n = 1 [3],

or,
si k = 0 [3] alors 2^k = 1 [7]
si k = 1 [3] alors 2^k = 2 [7]
si k = 2 [3] alors 2^k = 4 [7]

ici on a k = 4^n = 1 [3] (deuxième cas), donc 2^(4^n) = 2 [7] soit 2^(4^n) - 2 = 0 [7]
d'où 2^(4^n) - 2 est divisible par 7.


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