bonjour
permettez moi de vous répondre.

je vous conseille de faire une bonne figure en évitant que ABC soit
rectangle par exemple car vous allez tout confondre.

1)a)montrer que les droites (BH) et (CD) sont parallèles.

AD et diamètre du cercle C donc ACD est rectangle en C donc CD est perpendiculaire
à AC.

BH est hauteur issue de B donc BH est perpendiculaire à AC

(CD est perpendiculaire à AC et BH est perpendiculaire à AC) implique
CD est parallèle à BH.

1)b)montrer que les droites (CH) et (BD) sont parallèles.

dela même manière qu'en a):

AD et diamètre du cercle C donc ADB est rectangle en B donc BD est perpendiculaire
à AB.

CH est hauteur issue de C donc CH est perpendiculaire à AB

(BD est perpendiculaire à AB et CH est perpendiculaire à AB) implique
BD est parallèle à CH.

1)c)en déduire que les segments [BC] et [HD] ont le même milieu.

(CD est parallèle à BH et BD est parallèle à CH) implique HBDC est un
parallélogramme. Ses diagonales HD et BC se coupent en leurs milieux.
Donc HD et BC ont le même milieu.

2)Soit H' le symétrique de H par rapport a la droite (BC).
  a)que représente la droite (BC) dans le triangle HH'D?

comme H' est le symétrique de H par rapport à BC donc BC passe par
le milieu de HH' et BC est perpendiculaire à HH'.

donc BC représente la médiatrice au segment HH' du triangle HH'D.

  b)En déduire que ce triangle est rectangle en H' ?

BC étant la médiatrice de HH' elle coupe HH' en son milieu
J

Donc HJ/HH'=1/2

Comme le milieu I de HD appartient à BC donc BC coupe HD en son milieu
I.

donc HI/HD=1/2

donc HJ/HH'=HI/HD=1/2

donc les deux triangles HIJ et HDH' sont homothétiques.

donc IJ est parallèle à DH'.

Comme IJ est perpendiculaire à HH' et que IJ est parallèle à DH'
donc DH' est perpendiculaire à HH'

donc le triangle HDH' est rectangle en H'.

3)montrer que H' est un point du cercle circonscrit au triangle ABc?

A,H et H' étant alignés et HH' perpendiculaire à DH' donc
AH' est perpendiculaire à DH'.

donc le triangle ADH' est rectangle en H'.

comme AD est le diamètre du cercle C et que le triangle ADH' est rectangle
en H' donc H' appartient au cercle C de centreO qui est
en fait le cercle ciconscrit au triangle ABC.

voila bon courage.