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Problème de lieu
Je vous soumets le problème de lieu suivant:
[AB] est un segment, I est un point de ce segment ]AB[.
(C) est le cercle de diamètre [AI] et (C') celui de diamètre [BI].
(MN) est une tangent commune extérieure aux cercles (C) et (C') avec M sur (C) et N sur (C')
(M et N dans le même demi plan de frontière (AB)).
(AM) et (BN) se coupent en K.
Quel est le lieu de K quand I décrit [AB] privé de A et B?
Ce que j'ai réussi à faire:
J'ai conjecturé le lieu: un demi-cercle de diamètre [AB] privé de A et B.
J'ai réussi à montrer que K appartient à ce demi-cercle par deux méthodes: avec une homothétie, et avec les configurations (en utilisant notamment les angles correspondants).
Mes questions:
1- Je n'arrive pas - que ce soit sur ma calculette ou avec Géoplan - à faire en sorte que M et N restent dans le même demi plan de frontière [AB]. Cela doit surement venir de ma construction de la tangente, mais je n'arrive pas à y remédier. Pouvez-vous m'aider?
2- Comme souvent, j'ai du mal avec la réciproque... M et N étant dans le même demi plan de frontière [AB] je trouve "évident" qu'on ait un demi cercle, mais j'ai vraiment beaucoup de mal à me justifier...
En espérant que vous pourrez m'éclairer,
Bonne journée,
GGGGFFFF
Bonsoir.
O et O' sont les centres de (C) et (C'). Sachant qu'une tangente est perpendiculaire à son rayon, (OM) et (O'N) sont perpendiculaires à (MN), donc parallèles entre elles : (OM) // (O'N).
Donc : angle(IOM) = angle(BO'N). Appelons x la mesure de cet angle.
On a donc : angle(IOM) = x et aussi angle(IO'N) = 
- x.
Mais on sait aussi qu'un angle inscrit mesure la moitié de l'angle au centre, donc :
angle(IAK) = x/2 et angle(IBK) = ( - x)/2.
En ajoutant ces deux derniers angles, on trouve /2. Donc la mesure du dernier angle du triangle vaut aussi /2. conclusion : le triangle ABK est rectangle en K.
Alors, théorème de troisième : K décrit le demi-cercle de diamètre [AB], A et B exclus.
A plus RR.
Raymond, comme je l'indiquai dans mon premier message, j'ai déjà montré le sens direct (de plusieurs manières d'ailleurs...)
Le problème est pour la réciproque...
Le fait que l'angle soit droit indique que K appartient au cercle (et non pas au demi...).
Le but est maintenant de prendre un point du demi-cercle et de montrer qu'il existe bien les points I, N et M tels que M et N soient tels que (MN) soit tangente commune aux deux cercles...
A priori, il faudrait utiliser une symétrie axiale... mais je n'en sais pas plus, mon prof n'étant pas très "chaud" au moment de ma question...
Merci quand même,
GGGGFFFF
Bonjour.
Je te donne un début de preuve que peut-être tu parviendras à achever.
Soit (L) le cercle de diamètre [AB], et K un point de ce cercle.
1°) K est sur la médiatrice de [AB].
Je ne pense pas qu'il y ait de problème.
2°) Si K n'est pas sur cette médiatrice, on peut supposer, sans changer le problème que K est plus près de A que de B. Alors, la tangente en K à (L) rencontre (AB) en S.
Effectuons l'homothétie h, de centre S qui transforme A en B.
Posons h(B) = B', h(K) = K' et h((L)) = (L').
On s'aperçoit que l'on obtient une figure analogue à celle que l'on a trouvée dans le théorème direct, B jouant le rôle de I.
Il serait alors intéressant de construire une homothétie "retour" qui serait alors (je pense) de centre A cette fois.
Désolé de ne pas pouvoir aller plus loin.
Cordialement RR.
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