Salut,

Pas besoin d'autre loi...

La loi produit munit l'ensemble des deux matrices carrees d'une structure de groupe.
J'appelle A la matrice a coefficients positifs, B l'autre:

Element neutre:

A est l'element neutre.
A.A = A
A.B = B.A = B


Inverse

A est l'inverse de A: A.A = A (element neutre)
B est l'inverse de B: B.B = A


Associativite

Elle decoule de l'associativite de la loi produit sur Mn[R]



La stabilite est triviale.


A+
biondo

il n'est donc pas necessaire que les matrices soient inversibles...?

Elles le sont, mais au sens de la loi produit, et de l'element neutre du groupe...
Pas de Mn[R]...

ok merci

je dois aussi montrer que le groupe {matrices carrées d'ordre 2 avec des x sur la 1ere ligne et des 0 sur la deuxieme avec x reel non nul} est un groupe isomorphe a R*...

Honnetement c'est quasi evident que l'application qui a une telle matrice associe le reel x en question est bijective, ca me semble trop simple, je ne me trompe pas...?

La bijectivite est en effet assez evidente (attention, certains professeurs ne considerent pa sl'evidence comme un demonstration - belle occasion de voir a quelle categorie appartient le tien...).

Je pense qu'on te demande en plus de bien voir que les ensembles consideres sont des groupes, et donc que la bijection peut se faire via un morphisme de groupe, qui va respecter la structure algebrique des deux ensembles...

bref, montre que ta bijection est bien un morphisme de groupe... donc precise bien les lois de chacun des groupes...


A+

j'ai un dernier probleme a l'instant je dois montre que la matrice appartient a un groupe de matrices dont je dois donner le neutre et l'inverse de A...

Je dirais:

l'ensemble des matrices de la forme:
a  2a  a
2a 4a  2a
a  0    0
muni de la loi "+" usuelle, avec a reel quelconque. Les plus vicieux qui veulent montrer qu'ils ont compris pourront meme prendre a parmi les elements de Z ( et meme Q pour les plus temeraires), car ca marche aussi.

C'est bien un groupe, d'element neutre la matrice nulle.

Et l'inverse de A est -A, obtenu en prenant l'oppose du reel a qui permet d'obtenir A...

biondo

Désolé pour cette question idiote c'est vrai que c'etait pas dur du tout...

C'est moins amusant par contre pour la suite  :

J'ai montré que l'ensemble {} est un groupe de matrices de .

*) Soit G un groupe de matrices dont le neutre E est de rang r, et le neutre de .
Justifier l'existence d'un matrice P de telle que ; puis montrer que : defini un morphisme injectif de G dans . Ce morphisme est il surjectif ?

**) Si G est un groupe de matrices de dont le neutre est de rang 1, montrer que toutes les matrices de G sont proportionnelles, et que G est isomorphe a un sous groupe de . Decrire les groupes finis des matrices de dont le neutre est de rang 1 pour et

La je galere deja nettement plus...

non personne ne voit??

Bonjour, j'ai toujours du mal pour mes deux dernieres questions, je pense qu'il doit y avoir une affaire de matrices semblables dans tout ca mais j'aurai vraiment besoin d'un petit coup de pouce svp...

je comprend bien qu'il y a beaucoup de travail pour les correcteurs du site mais je ne demande pas une reponse redigée juste une piste svp...

Merci a tous

Pour la premiere des deux dernieres questions ci dessus j'ai pas reussi pour montrer l'existence de la matrice P, par contre j'arrive a montrer que le morphisme est injectif sans probleme, d'ailleurs je pense qu'il est surjectif egalement mais je vois pas exactement la démo...

Merci