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Problème de perspective à deux points de fuite.
Bonjour
(je ne sais pas si cet endroit est adapté à ma question, merci aux modérateurs de rectifier si nécessaire)
On peut assez facilement par construction (ici avec GeoGebra) construire une représentation d'un damier en perspective.
DE est le côté du carré (ici DE=4), F1 le point de fuite des droites perpendiculaires au plan de vision.
F2, le point de fuite des droites partant à 45°.
On connaît [DE=4], [DF1=8], [F1F2=10] (par exemple)
Par construction, on obtient facilement dans l'ordre : G, puis H. Et donc une droite HG.
Puis I et J, et donc une droite JI. K et L et une droite LK. M et N et une droite NM, etc.
Mais je voudrais sans plus de construction que GH, trouver les différentes distances entre H et J, puis entre J et L, puis entre L et N, etc. Et ainsi dessiner plus rapidement ces repères afin de réaliser un dessin correct.
Lorsque que je calcule ces distances avec GeoGebra, j'obtiens ceci (avec les données de l'exemple):
Si je disposais de l'équation de cette courbe ayant pour paramètres DE, DF1 et F1F2, je pourrais trouver rapidement toutes les distances. Quelles que soient les distances DE, DF1, et F1F2. J'ai l'impression que certaines règles géométriques doivent permettre ceci, mais je ne vois pas lesquelles. Alors si ça tente quelqu'un de résoudre ce « petit » problème, ce sera avec plaisir que je lirai ses propositions.
MERCI
Merci carpe diem, mais je ne pense pas que ça colle.
Voilà ce que ça donne :
Je pense qu'il y a une solution en liaison avec les propriétés des triangles.
Je continue à creuser.
Pascal
Bonjour,
Je n'ai pas trop le temps, mais la clé, c'est la conservation du birapport.
Par exemple , car dans le damier original
Merci.
Très intéressant. En appliquant à mes mesures, à l'incertitude près, ça a l'air de fonctionner.
Mais quel est le concept géométrique derrière cette conservation du birapport ?
Je continue à avancer et vous tiens au courant.
Bien sûr, en cherchant un peu, on trouve.
Je ne connaissais pas ce concept. Merci beaucoup frenicle !
http://euler.ac-versailles.fr/webMathematica/textes_officiels/design_espace/design_espace_4.pdf
Je vais essayer de conclure le sujet bientôt en proposant une résolution graphique.
Bonjour
Comme promis je me réponds et je clos le sujet.
Reformulation de ma demande:
On souhaite dessiner sur une ligne vue en perspective autant de points équidistants que nécessaire.
Bien souvent, après avoir dessiné les premiers points, on est vite limité par la largeur de la feuille pour construire les suivants.
Ma question est donc : comment, à partir des 4 premiers points, trouver les suivants PAR CALCUL et non pas par construction.
Le dessin pour mieux comprendre :
une ligne de base porte des points équidistants A0, a1, a2 et a3
Une droite (d) est une vue en perspective d'une perpendiculaire à la ligne de base.
Son point de fuite est F1.
Pour construire les points A1, A2 et A3 (représentation de points équidistants sur d), on utilise les propriétés de la loi de la conservation du birapport, ou encore rapport anharmonique (merci frenicle 
) dans la projection de centre M.
En fait, M (point de mesure) est à l'intersection de la verticale de A0 et de la ligne de fuite.
On joint a1, a2, a3 à M, créant ainsi les points A1, A2 et A3.
Mais quid de A4, A5, ..., An ?
Si ma feuille n'est pas assez large, impossible à construire...
Voici donc venir le birapport ou rapport anharmonique.
Appelons le r.
r(A0,a1,a2,a3)=(A0a2/a1a2)/(A0a3/a12a3) = 4/3 (facile à démontrer ici puisque A0a1=a1a2=a2a3).
Puisque r(A0,a1,a2,a3)=r(A0,A1,A2,A3), on peut écrire :
r(a1,a2,a3,a4)=4/3
r(a2,a3,a4,a5)=4/3
et ainsi de suite.
De manière générale : r(an-3,an-2,an-1,an)=4/3.
L'idée étant de construire le point suivant à partir des 3 points précédents, on définit les 3 distances suivantes :
z=an-3 an-2 que l'on connait
y=an-2 an-1 que l'on connait
x=an-1 an que l'on cherche
Le birapport peut s'écrire :
r=((y+z)/y) / ((x+y+z)/(x+y))
On cherche x.
r(x+y+z) / (x+y) = (y+z) / y
rx - x(y+z)/y = (y+z)(x+y) / y
x= [(y+z) -r(y+z)] / [ r - (y+z)/y]
soit
x= (y+z)(1-r) / (r-((y+z)/y))
On peut vérifier avec A4, puisqu'on a A3,A2 et A1 (avec GeoGebra).
z=A1A2=2.04
y=A2A3=1.47
r=4/3
x= (3.51 * -0.33) / (1.33- (3.51/1.47) ) = 1.11
Ce qui est bien confirmé par GeoGebra.
On a donc bien une fonction qui relie x aux mesures y et z.
On peut donc construire par calcul tous les points souhaités.
CQFD.
Merci encore à frenicle pour son coup de pouce anharmonique 
Juste une remarque : on n'est pas obligé de calculer de proche en proche.
Connaissant et
on obtient directement
puisque
.
On obtient, sauf erreur,
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