Par l'absurde.

Supposons qu'on puisse écrire V3 = p/q avec p et q des entiers premiers entre-eux.

Donc V3 serait dans Q, il serait possible de l'écrire sous forme de fraction irréductible.

On aurait alors:

V3 = p/q
3 = p²/q²

p² = 3.q²

p²-q² = 2q²
(p-q)(p+q) = 2q²  (1)

Si (p-q) est impair c'est que p et q sont de parité différente -> p+q est impair aussi.
Il serait alors impossible de satisfaire (1) puisque le second membre est pair.

On a donc alors (p-q) est pair et donc p et q sont de même parité --> p+q est aussi pair.
On peut alors écrire (p-q) = 2k et (p+q) = 2k' avec k et k' entiers. -->

(1) devient: 4k.k'= 2q²
2.k.k' = q²
Cela implique que q² est pair et par suite q est pair aussi.

Comme on a montré que q et p étaient de même partité, on a donc p et q sont pairs.
Mais ceci est impossible puisqu'on a supposé que p/q était une fraction irréductible.
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Donc en supposant qu'il est possible de mettre V3 sous forme d'une fraction irréductible, on arrive à une absurdité.

Il est donc impossible de mettre V3 sous forme d'une fraction irréductible et donc V3 n'est pas dans Q.
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Sauf distraction.  

merci infiniment

Joliiiii !

Démonstration à mettre dans les fiches de maths, pour pouvoir y faire référence.

Philoux