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problème de récurrence
Bonjour!
D'habitude, la récurrence ne me pose pas de problème, mais sur cet exercice je suis complétement perdue!
Je ne vois absolument pas comment faire! Pourriez-vous m'aider svp?
Voici l'énoncé:
On considère la fonction numérique f de la variable réelle x définie par:
f(x)= (x+1)2e-x
Dans cette partie, on se propose de calculer la dérivée n-ième de f, notée f(n).
1) a) montrer par récurrence sur 
* que f est indéfiniment dérivable sur
et que pour tout réel x, f(n)(x)= (-1)n(x2+unx+vn)e-x où un et vn sont des nombres réels
b) Exprimer un+1 et vn+1 en fonction de un et vn
Merci d'avace pour vos explications!
Bonjour
Je suppose que c'est l'hérédité qui te pose problème.
Hypothèse de récurrence :
alors :
donc :
et l'hérédité est démontrée (avec et
)
Calculs à vérifier !
Bonjour,
Pour le 1)
a. Initialisation : Il faut montrer que f(1)=f' est dérivable sur R et que f(1)(x)=f'(x)=(-1)1(x²+u1x+v1)e-x
f(x)=(x+1)²e-x. f est dérivable sur R car elle est le produit de fonctions dérivables sur R et f'(x)=-(x+1)²e-x+2(x+1)e-x = e-x(-x²-2x-1+2x+2)= -e-x(x²-1)=(-1)1e-x(x²-1)
Donc f'(x)=(-1)1e-x(x²-1). On peut alors prendre u1=0 et v1=-1. f' est dérivable car c'est un produit de fonctions dérivables.
b. Récurrence : Supposons que f(n) est dérivable et que f(n)(x)=(-1)n(x²+unx+vn)e-x
Montrons que f(n+1) est dérivable et que f(n+1)(x)=(-1)n+1(x²+un+1x+vn+1)e-x
f(n) est dérivable donc f(n+1)(x)= f(n)'(x)= (-1)n((-1)(x²+unx+vn)e-x+(2x+un)e-x) = (-1)ne-x(-1)(x²+unx+vn-2x-un) = (-1)n+1e-x(x²+(un-2)x+(vn-un))
on posant un+1=un-2 et vn+1= vn-un on a ce que l'on devait démontrer
de plus, cette fonction est dérivable car c'est un produit de fonctions dérivables.
j'espère ne pas avoir fait d'erreurs,
Bon courage,
ManueReva
Bonjour Manuereva
On trouve la même chose (c'est rassurant) et tu as été plus complet(e) dans ta démarche.
Bonjour littleguy,
en effet, c'est rassurant, j'suis la reine des fautes de frappes aujourd'hui en plus .
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