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Problème de récurrence
Bonjour, et merci d'avance de prendre de prendre de votre temps.
J'ai un petit problème concernant la démonstration par récurrence d'une suite. L'énoncé est le suivant :
Soit ( un ) la suite définie par : u0=2 et un+1=3un -5 pour tout n∈ℕ .
Démontrer par récurrence que : un=−0.5*(3n−5) pour tout n∈ℕ.
J'ai donc imaginé faire
3*un = 3*(-1.5n+2.5)
puis 3*un-5 = -4.5n+7.5-5
soit
un+1 = -4.5n+2.5
cependant, je vois bien que ça coince au niveau du n car je devrais obtenir lors de la dernière étape : -1.5n + 2.5.
Ainsi, si quelqu'un pouvait m'apporter son aide ce serait super, merci d'avance
ah excusez moi, je viens de remarquer que j'ai mal noté, il s'agit de un = -0.5(3^n-5).
Pour l'initialisation, j'ai pensé que u0 = 2. Or, -0.5( 1-5) = 2
C'est ce que j'ai tenté de faire, mais cela ne tombe pas sur le bon résultat pour pouvoir factoriser par -0.5 à la fin..
Ton post de 16h24
C'est bien
Tu as montré que la propriété est vraie au rang 0.
Il y a donc initialisation.
Passons à l'hérédité
On a donc un = -0.5*(3^n-5), soit un = -1.5^n+2.5.
3*un = 3*(-1.5^n+2.5) <=> -4.5^n+7.5
3*un -5 = -4.5^n+7.5-5 <=> -4.5^n+2.5
un+1 = -0.5*(9^n-5).
C'est donc là que je bloque, je n'obtiens pas la bonne hérédité
Sur ton brouillon,
Il te faut montrer ce que tu cherches
On te donne un+1=....
Remplace dans cette expression n par n+1
Je suis donc sensé partir de un+1 = 3*un-5, avec selon l'hypothèse d'hérédité,
un = -0.5((3^n+1)-5) ?
Je pars de un pour arriver à 3*un-5 ou pour trouver - 0.5(3^(n+1)-5) ? Comme elles sont toutes les deux égales à un+1 je ne sais pas trop.. D'autant que j'ai déjà essayé avec 3*un-5, comme cité plus haut, mais que je ne tombe sur le bon résultat.
Pas de problèmes, merci de prendre de votre temps.
J'ai regardé un peu sur internet, et j'ai fini par mieux comprendre le principe de la démonstration par récurrence, cependant, sur cet exercice, je n'arrive toujours pas à prouver que un+1 = -0.5((3^n+1)-5). Je tombe toujours sur un+1 = -0.5( 9^(n+1)-5).
Peut-être existe-t'il une règle par rapport au puissance ?
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