bonjour Sophie

Comme S est un espace vectoriel de dimension finie, alors il admet une base que l'on note (e₁,e₂,...,e_r).
On pose V_i=Vect(e_i) pour i=1..r
Alors, S est la somme directe des V_i qui sont des espaces de dimension 1.

D'après le théorème de la base incomplète, on peut la compléter en une base de E (e₁,...,e_n) (E étant l'espace de départ).

Pour tout x de E, on notera (x₁,..,x_n) les coordonnées de x dans cette base.

Pour i=1..n, considérons l'application _i : x x_i.

Ces applications sont clairement des formes linéaire non nulles.
Ainsi, pour tout i, le noyau de _i est de dimension n-1.
Il est assez facile de voir que S est l'intersection des noyaux des _i pour i=r+1...n. D'où le résultat.

Kaiser

merci j'ai presque tout compris sauf "Il est assez facile de voir que S est l'intersection des noyaux des i pour i=r+1...n"

Tu vois bien qu'un vecteur x sera dans le noyau de _i si et seulement si sa ième coordonnée est nulle.
On voit également qu'un vecteur x sera dans S si et seulement si x_r+1=...=x_n=0 (car S est engendré par les r premiers e_i) donc si et seulement si x est dans le noyau de _i pour tout i appartenant à l'ensemble {r+1,...n}.

J'espère que ces explications paraîtront moins obscures que précédemment.

Kaiser