1)

|I(n+1) J(n+1)| = U(n) + 2
Le rayon du cercle R = (U(n) + 2)/2   (1)

Pythagore dans le triangle OC(n+1) et Centre du cercle) ->
|OC(n+1)|² + (R-1)² = R²

|OC(n+1)|² + R²-2R+1 = R²
|OC(n+1)|² = 2R-1
OC(n+1) = racinecarrée(2R-1)
OA(n+1) = (1/2).OC(n+1)
OA(n+1) = (1/2).racinecarrée(2R-1)
OA(n+1) = racinecarrée[(2R-1)/4]
u(n+1) = racinecarrée[(2R-1)/4] (2)

Or avec (1): R = (U(n) + 2)/2, on a 2R = U(n) + 2 -> 2R-1 = U(n)+1 et (2) devient:
u(n+1) = racinecarrée[(U(n)+1)/4]
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2)
Si U(n) <= 1, on a:
U(n)+1 <= 1+1
U(n)+1 <= 2
(U(n)+1)/4 <= 2/4
(U(n)+1)/4 <= 1/2
racinecarrée[(U(n)+1)/4] <= racinecarrée(1/2)
U(n+1) <= racinecarrée(1/2)
et a fortiori:
U(n+1) <= 1

Donc Un est majorée par 1
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3)
Tous les U(n) sont > 0

Si Un > 1/2, alors u(n+1) > racinecarrée[(1+(1/2))/4]
soit U(n+1) > 0,6 ... et donc a fortiori U(n+1) > 0,5
Comme U(0) > 0,5, tous les Un sont > 0,5

u(n+1) = racinecarrée[(U(n)+1)/4]
u(n+1) / U(n) = racinecarrée[(U(n)+1)/4] / U(n)
u(n+1) / U(n) = racinecarrée[(U(n)+1)/(4Un)²]
u(n+1) / U(n) = racinecarrée[(1/(4U(n)) +1/(4Un)²]
et comme tous les Un sont > 0,5 ->

u(n+1) / U(n) <= racinecarrée[(1/(4*0,5) +1/(4*0,5)²]
u(n+1) / U(n) <= racinecarrée[(1/2) + (1/4)]
u(n+1) / U(n) <= 0,8...
et a fortiori:
u(n+1) / U(n) < 1
U(n+1) < U(n)
Donc la suite Un est décroissante.
Comme tous les Un sont > 0,5, la suite est minorée

La suite Un est décroissante et minorée et donc elle est convergeante.
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4)
Comme la suite converge, on a lim(n-> oo) U(n+1) = lim(n-> oo) U(n), appellons L cette limite.

u(n+1) = racinecarrée[(U(n)+1)/4]
lim(n->oo) u(n+1) = lim(n->oo) racinecarrée[(U(n)+1)/4]
L = racinecarrée((L+1)/4)
2L = racinecarrée(L+1)
4L² = L+1
4L²-L-1 = 0
On sait que L > 0 et donc L = [1 + racinecarrée(17)]/8
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Sauf distraction.  

Bonjour à tous,

Voici mon exercice de suite que je n'arrive pas à résoudre, j'ai à peu près les réponses mais je n'arrive pas à faire les démonstrations.

Exercice

Soit un segment [OAindice0]. On ajoute à chaque extremité un segment de 1 cm: du côté de Aindice0 il s'apelle J1 et du côté de O il s'apelle I1. Ensuite on trace le demi cercle de diamètre I1J1. On prend ensuite la perpendiculaire à OAindice0 passant par O. L'intersection de la perpendiculaire et de l'arc de cercle forme C1. On place ensuite A1 le milieu de C1 O. On ajoute ensuite de part et d'autre du segment 1 cm pour former I2 et J2. On trace ensuite l'arc de cercle et ainsi de suite.

1) on a (u)indice0=OAindice0 (u)1= OA1 (u)2=OA2 et donc u(n)= OAn
On sait que u(o)=1. Montrer que u(n+1)= racine carré de [(1+ u(n)) / 4]

Je pense utilkiser la méthode par récurrence mais je n'arrive pas à retomber sur mes pieds...

2) Calculer u1 et u2. Montrer que u(n) est majorée.

Je pense que u(n) est majoré par u(0). Donc si je passe par la recurrence est que cela marche??
u(n) < 1 donc racine carré de [ (1+ u(n)) / 4] est forcément inférieur à 1??

3) La suite u(n) est elle convergente?

Pour moi, elle converge vers 0 mais pour cela doit on montrer que u(n) est une suite géométrique?? si oui, comment??

4) En utilisant la continuité de la fonction x-> racine carré de x, si on désigne par L la limite (u(n)), montrez que l'on a nécessairement 2L= racine carré de (1 + L)
En déduire la valeur de L.

Pour déduire la valeur de L, cela devrait aller mais pour montrer cette égalité 2L=... je n'ai vraiment pas d'idée...


Merci d'avance pour tous vos conseils ou vos aides. Bonne fin de week end et bonne semaine.
A bientôt

Vaurien

*** message déplacé ***

Pourquoi reposter à nouveau ton sujet alors que tu as déjà eu de l'aide
Si tu as des questions, pose les dans ce topic, merci