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Problème de suites

Posté par
robincognito 21-09-11 à 21:24

Bonsoir à tous

Alors voila je bloque sur un exo de colle, dont voici l'énoncé assez simple (en apparence =P) :

Soient (Un) et (Vn) les deux suites d'entiers naturels définies par Un + Vn3 = (2+3)^n
Déterminer lim (Vn/Un) quand n tend vers +

Je suis pour l'instant parti de (2+3)^n , que j'ai développé grâce au binôme de Newton.
J'ai ensuite séparé les termes ou 3 est affecté d'une puissance impaire des termes ou il est affecté d'une puissance paire.
J'ai ainsi explicité Un et Vn en fonction de n uniquement.

Mais à partir de là ... Blocage complet =O
Une idée ?

Merci d'avance

Posté par
jandri Correcteurre : Problème de suites 21-09-11 à 21:29

Bonsoir,

Il faut remarquer qu'on a aussi u_n-v_n\sqrt3=(2-\sqrt3)^n.
On peut alors calculer u_n et v_n.

Posté par
robincognitore : Problème de suites 21-09-11 à 21:50

Hum intéressant , je vais gribouiller quelques trucs

Posté par
robincognitore : Problème de suites 21-09-11 à 22:10

Donc évidemment j'arrive bien à ton résultat !

On a maintenant (2+3)n = Un + Vn3 , (2-3)n = Un - Vn3 , et une expression de Un et Vn en fonction de n ...

Je vois pas vraiment le lien avec ce qu'on cherche pour l'instant :/

Posté par
jandri Correcteurre : Problème de suites 21-09-11 à 22:14

Une fois qu'on a calculé u_n et v_n en fonction de (2-\sqrt3)^n et (2+\sqrt3)^n on forme le rapport \dfrac{v_n}{u_n} et on calcule sa limite.

Posté par
robincognitore : Problème de suites 21-09-11 à 22:15

Hum désolé ^^ Je vais avancer tout seul !

Posté par
robincognitore : Problème de suites 21-09-11 à 22:15

Oui oui navré c'est évident ... Merci bien !

Posté par
robincognitore : Problème de suites 21-09-11 à 22:49

J'ai le rapport Vn/Un , mais ils me semble que ca donne +/+ ...
Comment se débarasser de cette forme indéterminée ?

Posté par
jandri Correcteurre : Problème de suites 21-09-11 à 22:52

Pou lever l'indétermination on écrit:
a^n+b^n=a^n(1+(b/a)^n) en choisissant a>b.
Idem pour a^n-b^n.

Posté par
robincognitore : Problème de suites 21-09-11 à 23:06

Oui forcément ...
Merci beaucoup !


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