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[Problème de vérification] Similitudes et suite de points

Posté par
Craw 21-04-11 à 01:54

Bonjour,

J'ouvre ce topic mais en fait je n'ai pas vraiment de problème, j'ai juste une petite question concernant une question (c'est le cas de le dire) d'un sujet de bac sur les similitudes et suite de points.
J'ai répondu à la question et je sais que j'ai bon grâce à la correction mais lorsque j'ai voulu vérifier mon résultat ça ne colle pas, alors peut-être que je comprends mal le but de la question...

Il s'agit de la dernière question de l'exercice de spécialité du sujet de maths amérique du nord 2010, regardez la réponse au 5. partie B exercice 3 :

Voici l'énoncé : http://www.2amath.fr/examen-sujet-affiche.php?id=583

Ils demandent de déterminer l'ensemble des entiers naturels n pour que les points Mn soient sur la demi-droite [Ox) sur l'axe des abscisses à droite de O en gros.
La correction dit que ces points commencent de 16 en 16 à partir de M4 (z4 = 4 il est bien sur l'axe des abscisses) et donc ils trouvent M20, M36, M52 etc...
J'ai donc voulu vérifier ceci pour voir si l'affixe du point M20 par exemple était un réel (partie imaginaire nulle pour que le point soit uniquement en abscisse) et là j'ai trouvé une partie imaginaire, c'est donc bizarre.

J'ai calculé avec zn = \sqrt{2} exp(i(\frac{\pi}{2}) + \frac{3n\pi}{8}) en remplaçant n par 20, je trouve environ 1024 + 6.144*10-10 i.
Au départ j'ai dit que vu que la partie imaginaire était proche de 0 on pouvait la négliger et considérer que l'affixe du point était un réel mais après j'ai vu qu'avec de grands nombres normalement compris dans l'ensemble trouvé (n = 100 par exemple) que la partie imaginaire n'était plus négligeable.

Donc je dois mal m'y prendre pour la vérification.

Je vous remercie de votre aide et de votre réponse.

Posté par
Crawre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 21-04-11 à 01:56

J'ai oublié la correction du sujet désolé :

Et le sujet avec le lien cliquable :

Posté par
pioufre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 21-04-11 à 03:28

Bonjour Craw,  

Citation :
J'ai calculé avec zn = \sqrt{2} exp(i(\frac{\pi}{2}) + \frac{3n\pi}{8}) en remplaçant n par 20, je trouve environ 1024 + 6.144*10-10 i.


Si un point Mn est sur la demi-droite [Ox), ça signifie que zn est un réel positif.
Ca signifie également (et c'est ça qu'on va utiliser) que son argument est égal à 2k

On a z_n =\sqrt{2}^n \times e^{i(\frac{\pi}{2}+\frac{3n\pi }{8})}  avec n=20
Calculons son argument: \frac{\pi}{2}+\frac{3 \times 20\pi }{8}=\frac{4 \pi +60 \pi}{8}=8 \pi
Donc M20 est bien sur la 1/2 droite [Ox)

Si tu veux malgré tout calculer son affixe, tu fais:
z_{20} =\sqrt{2}^{20} \times e^{i(\frac{\pi}{2}+\frac{3 \times20\pi }{8})}=\sqrt{2}\times e^{8i\pi}=\sqrt{2}^{20}=1024

Posté par
pioufre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 21-04-11 à 03:32

Petite erreur dans ma dernière ligne, je rectifie :
z_{20} =\sqrt{2}^{20} \times e^{i(\frac{\pi}{2}+\frac{3 \times20\pi }{8})}=\sqrt{2}^{20}\times e^{8i\pi}=\sqrt{2}^{20}=1024

Posté par
Crawre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 21-04-11 à 03:40

Merci de ta réponse.
Cependant j'ai fait une grosse erreur de copie j'ai oublié le puissance n au dessus de la racine de 2 dans l'expression de zn mais je vois que tu as rectifié.

Sinon quand je calcule l'affixe je ne trouve pas une partie imaginaire nulle moi (à savoir 1024), je dois mal entrer les parenthèses c'est pas possible, c'est ça qui m'a perturbé alors, sinon j'avais bien compris le but.

Posté par
pioufre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 21-04-11 à 03:49

Tu trouve ça comme partie imaginaire : 6.144*10-10
C'est presque 0 ceci dit. Les limites de la calculatrice peut-être.
Tu tapes quoi exactement ?

Posté par
Crawre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 21-04-11 à 03:53

Bah non ce ne sont pas les limites, moi aussi au début je croyais mais j'ai essayé avec n = 100 (compris dans le domaine recherché) et la partie imaginaire dépasse les 1, en fait plus n est grand plus elle devient grande, bien que négligeable devant la partie réelle de n.

Sinon j'entre ça : \sqrt{(2)}20 * exp(8i\pi)

J'ai tout essayé de toute façon mais je n'ai jamais 1024 tout seul.

Posté par
pioufre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 21-04-11 à 04:06

Mais tu n'as pas besoin de calculatrice pour savoir que d'une façon générale:
e2ik=1  
donc contente de calculer juste (2)20 à la calculatrice

Posté par
Crawre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 21-04-11 à 04:44

Ah d'accord.
En fait exp2ik\pi = 1 * (cos(2k\pi) + i sin (2k\pi)) = 1.

J'ai vu l'erreur de ma calculatrice, pour le cas 2\pi tout va bien elle me fait bien i sin(2\pi) = 0 mais pour les multiples ça ne passe pas, dès que je fais i sin(4\pi) j'ai un résultat différent de 0, d'où la partie imaginaire à la fin.

Donc ma calculatrice ne prend pas en compte les multiples de 2\pi ?

Posté par
Crawre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 21-04-11 à 05:07

Sinon un peu hors-sujet mais juste question de ne pas écrire n'importe quoi, arg(A) = A où A est un angle ?
Par exemple ça se dit arg(2\pi) = 2\pi ?

Posté par
pioufre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 21-04-11 à 05:10

Citation :
En fait e2ik = 1 * (cos(2k) + i sin (2k)) = 1.

Absolument

Citation :
Donc ma calculatrice ne prend pas en compte les multiples de 2 ?

Bah, je ne sais pas. Moi quand je tape sin(260) elle m'affiche un beau 0

Posté par
pioufre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 21-04-11 à 05:21

Citation :
Par exemple ça se dit arg(2) = 2 ?

Il se trouve que oui, mais c'est vraiment le coup du hasard.
2 est un nombre réel positif donc son argument est 0[2].
-2 est un nombre réel négatif donc son argument est [2].

Par contre: arg()=0[2]

Tout nombre réel a un argument égal 0[2] s'il est positif
et [2] s'il est négatif

Posté par
Crawre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 21-04-11 à 15:06

D'accord merci de ta réponse.
Parce que je n'ai jamais été confronté à un exemple avec arg(angle) = ...
J'ai toujours eu à déterminer l'argument d'un nombre complexe et jamais d'un angle. D'ailleurs déterminer l'argument d'un angle ça me semble bizarre car par définition l'argument c'est un angle.

Posté par
pioufre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 21-04-11 à 22:55

Citation :
Parce que je n'ai jamais été confronté à un exemple avec arg(angle) = ...

Normal.
Mais pourquoi te poses-tu la question au fait ?

Citation :
J'ai toujours eu à déterminer l'argument d'un nombre complexe

Normal.
Sachant toutefois qu'un nb complexe peut être un réel (arg=0 ou ) ou imaginaire pur (arg=/2 ou 3/2).

Posté par
Crawre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 22-04-11 à 00:36

Je me pose la question car dans l'exo il y avait un cas comme ça je crois je l'ai écrit je ne sais plus où.

Posté par
pioufre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 22-04-11 à 02:26

Non, je n'ai rien vu de tel dans l'exo.

Posté par
Crawre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 22-04-11 à 02:59

Ah oui je m'en souviens c'est parce que j'ai détaillé une explication, même si ce n'était pas explicitement demandé.
J'ai vérifié le résultat pour M4 et j'ai calculé son argument et j'ai montré que c'était un multiple de 2\pi.
Sauf que j'ai écrit arg(z4) = arg(\frac{\pi}{2} + \frac{12\pi}{8}) = arg(\frac{16\pi}{8}) = arg(2\pi) = 2\pi donc je me demandais si d'un point de vue convention c'était correct d'écrire ça comme ça, même si ce n'est à priori qu'un détail.

Posté par
pioufre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 22-04-11 à 03:16

Non, ce n'est pas correct.

Tu dois écrire : arg(z_4) = arg(\sqrt{2}^4 e^{i(\frac{\pi}{2} + \frac{12\pi}{8})}) = \frac{16\pi}{8} = 2\pi

Posté par
Crawre : [Problème de vérification] Similitudes et suite de points 22-04-11 à 03:38

Ok merci j'ai rectifié, c'est pour ça que ça me semblait bizarre.


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