Bonsoir,
je sollicite votre aide pour démontrer un problème bien délicat :
Montrer que tout groupe fini de cardinal g est isomorphe à un sous groupe de SLg(Z)
Dans le corrigé ils disent :

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Soit G = {a1, . . ., ag} un groupe fini de cardinal g. Si i, j appartient à [1, g], on note i  j l'entier défini par ai· aj = aij.
Pour ai appartenant à G soit l'application lineaire Phi(ai) :  Q^g -> Q^g
(x1, . . ., xg) −> (x1i, . . ., xgi),
et soit M(ai) la matrice de
Phi(ai) dans la base canonique de Qg. On verifie aisement que a 7−! M(a) est un morphisme de groupes de G dans
GLg(Z) et qu'il est injectif. Ce morphisme repond à la question quand g est impair, car les elements de G sont
alors d'ordres impairs, donc les matrices M(a) aussi, et une matrice de GLg(Z) d'ordre impair a un determinant
egal a 1. Par contre si g est pair, on ne peut pas garantir que M(a) appartient SLg(Z) et ca peut etre faux (par exemple si
G est un groupe cyclique).
Dans le cas general, avec g > 2, on remarque que l'hyperplan H = {(x1, . . ., xg) 2 Qg tq x1+. . .+xg = 0} est stable
par toutes les applications Phi(a). Ceci permet de co-trigonaliser par blocs les matrices M(a) a l'aide d'une base
de Qg commencant par une base de H. Plus precisement, soit la matrice
P = | In−1 (0)
     | −1. . . − 1 1  : si a appartient à G alors la matrice
P−1M(a)P est de la forme
P−1M(a)P = |N(a) X
            |0. . .0 y avec X appartenant à Mg−1,1(Z) et y appartient à Z. Puisque M(a) appartient à GLg(Z), on
a N(a) 2 GLg−1(Z) et l'application a 7−! N(a) est un morphisme de groupes de G dans GLg−1(Z).On montre que N(a) est injective puis on arrive à conclure !
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Mes questions :
1/ Pourquoi est ce que lorsque g est impair M(A)^g = In
2/ je ne comprend pas pourquoi est ce que P−1M(a)P est de la forme
P−1M(a)P = |N(a) X
            |0. . .0 y avec X appartenant à Mg−1,1(Z) et y appartient à Z.

Merci d'avance pour votre aide