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probleme en arithmetique
g des souci pour demontrer que si x et y sont 2 entiers naturels premier entre eux c'est equivalent a 3x+5y et x+2y premier en entre eux
je sais que c une equivalence et qu'il faut le demontrer dans les deux sens mais je ne sais pas comment faire, on doit pouvoir utiliser l'égalité de Bezout
pouvez vous m'aider?
Il faut remarquer que :
-si un nonbre entier divise x et y alors il divise 3x+5y et x+2y
-si un nombre entier divise X=3x+5y et Y=x+2y alors il divise X-2Y=x et 3Y-X=y
je suis désolé mais jne voie pas trop ou tu veux en venir
Mais non pas par l'absurde... avec la définition du PGCD.
On suppose que 3x+5y et x+2y sont premiers entre eux.
Soit d un diviseur commun de x et y. Montrons que d=1. Comme d divise x et y, alors d divise 3x+5y et x+2y. Comme 3x+5y et x+2y sont premiers entre eux, d=1.
Ainsi 1 est le seul diviseur commun de x et y, c'est-à-dire que x et y sont premiers entre eux.
Même raisonnement dans l'autre sens.
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