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Problème en Spé Maths
Bonjour,
J'ai un DM en spécialité :
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on pose A(n) = n4 +1.
L'objet de l'exercice est l'étude des diviseurs premiers de A(n).
1. Quelques résultats
a. Étudier la parité de l'entier A(11).
b. Montrer que, quel que soit l'entier n, A(n) n'est pas un multiple de 3.
c. Montrer que tout entier d diviseur de A(n) est premier avec n.
d. Montrer que, pour tout entier d diviseur de A(n) : n8congru à 1 mod d.
2. Recherche de critères
Soit d un diviseur de A(n). On note s le plus petit des entiers naturels non nuls k tels que nk congru à 1 mod d.
a. Soit k un tel entier. En utilisant la division euclidienne de k par s,
montrer que s divise k.
b. En déduire que s est un diviseur de 8.
c. Montrer que si, de plus, d est premier, alors s est un diviseur de d−1.
On pourra utiliser le petit théorème de Fermat.
3. Recherche des diviseurs premiers de A(n) dans le cas où n est un entier
pair.
Soit p un diviseur premier de A(n). En examinant successivement les cas s = 1, s = 2 puis s = 4, conclure que p est congru à 1 modulo 8.
4. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Appliquer ce qui précède à la recherche des diviseurs premiers de A(12).
Indication : la liste des nombres premiers congrus à 1 modulo 8 débute par 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, . . .
Voilà donc j'ai réussit toute la première partie mais ensuite j'ai plus de mal =)
Hello,
bon hé bien on part de 2).
2.
a)
donne
ceci implique que
( à prouver )
mais donc .... ( à finir )
b)
comme donc d'après a)......
c)
si d est premier d'après Fermat donc d'après a)...
3.
Tu peux montrer que dans les trois cas ce qui n'est pas possible puisque p divise A(n). Donc s=8...mais en utilisant le c) de la question précédente s=8 divise p-1...je te laisse finir.
4. A toi de jouer.
Merci pour ta réponse Mister Jack
Mais en fait je me rend compte que je n'arrive pas à la question 1) maintenant ... Si quelqu'un pouvais m'aidé ça serai cool ^^
1)
a)
est impair donc
est pair...en fait c'est 14 642 ( mais bon pas besoin de le calculer...c'est juste pour vérifier.)
b)
à toi de finir.
c)
Si d divise A(n) alors ce qui entraine
..( Bezout ).
d)
Si d divise A(n) alors donc
donc....
Hello Lilie,
Comme je le disais si on suppose s=1, s=2, s=4 ( les premiers diviseurs de 8, n'oublie pas que s doit être un divisuer de 8 ) on obtient .
En effet :
A toi de jouer pour s=4.
Donc ce n'est pas possible puisque p est un diviseur de A(n)...il ne reste plus que s=8 qui convienne.
Or comme p est premier on a vu que s=8 divise aussi p-1...autrement dit
Haha nan c'est un autre doit être dans le même cas que moi et dirais même que c'est quelqu'un de ma classe ^^
bonjour
tout d'abord je remercie MisterJack pour les aides a l'exercice de spé math .
Voila moi j'ai tout fait l'exercice sauf la 4) qui me pose probleme . Peus tu m'aider dans la resolution de cette question s'il te plait !
Hello,
bah moi j'ai esayé les nombres premiers congrus à 1 modulo 8 et j'ai trouvé 89 comme premier diviseur premier.
A(12)=20737=89
233.
Ensuite bah il faut regarder d'un peu plus près 233....
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