Bonsoir
as tu essayer d'écrire e-2x comme le carré de (e-x)2 dans l'inégalité

Non car ce n'est pas e-2x mais bien e^-2x.
Merci quand même!

salut.
il faudrait pour quelles valeurs de x les inegalites sont vraies.

de plus excuse moi de demander confirmation mais c'est bien e^(-2x) et non e^[-x²] ?

Tu as raison minotaure, c'est bien e^(-x²) et dans l'intervalle [0;1]. Désolé et bravo d'avoir trouvé cette possibilité d'erreur et la bonne solution.

Bonjour,

Sur [0;1] x+1>0

et 1x0
donc 1x²0 fct x² croissante sur [0;1]


soit f(x)=1-x ----------------->f(x²)=1-x²=(1-x)(1+x)
soit h(x)=e^(-x) -------------->h(x²)=e^(-x²)
soit g(x)=1-x+(x²/2)----------->g(x²)=1-x²+x⁴/2

f(x)h(x)g(x)
f(x²)h(x²)g(x²)
(1-x)(1+x)e^(-x²)(1-x)(1+x)+(x⁴/2)
comme x+1>0 sur [0;1]
alors 1-xe^(-x²)/(1+x)1-x+( x⁴/(2(1+x)) )

eh bien alors tout devient facile.

explication.

tu as pour x dans [0,1] :

1-x <= e^(-x) <= 1-x+ (x^2 /2)

ce x est dans [0,1] donc il existe X dans [0,1] (et meme dans [-1,1] mais la on perd l'unicite mais c'est pas tres grave), ou en etais je ?

ah oui comme x est dans [0,1] il existe X dans [0,1] tel que X^2=x

remplacons ceci dans les inegalites :

1-X² <= e^(-X²) <= 1-X²+ [(X²)^2 /2]

tu vois ou je veux en venir ?

1-X²=(1-X)*(1+X)

donc (1-X)*(1+X)=<e^(-X²)=<(1-X)*(1+X) + [(X²)^2 /2]

comme X est dans [0,1] on X+1 different de 0 et meme positif (pour etre plus clair X+1 strictement positif)
donc divisons par 1+X (en toute securite) :

1-X=<e^(-X²)/(1+X)=<(1-X) + X^4/[2*(1+X)]

donc on a 1-X=<e^(-X²)/(1+X)=<(1-X) + X^4/[2*(1+X)] pour X dans [0,1]

voila.
a+