Bonsoir RV51, es-tu en première ou en deuxième année?

Connais-tu la réduction des endomorphismes?

Si oui que peux-tu dire du polynôme caractéristique et du polynôme minimal de f?

oui, je connais la réduction d'endomorphisme , le polynome caractéristique est P(X)= X^3 mais que puis-je faire avec ceci? et peux tu m'en dire plus sur le polynome minimal? Merci

OK!

On va se passer du polynôme minimal

que peux-tu dire des dimensions de Ker f, Ker f² et Ker f³ ?

1) comme  f² n'est pas nul il existe un  x  tel que
  f²(x)  est non nul.
Démontre que  {x, f(x),  f²(x)}  convient
2) utilise l'écriture de  g(x)  dans la base précédente

pourriez-vous être un peu plus précis svp je suis un peu perdu la.
Merci

lolo217 te proposait de prouver que si x est tel que f²(x) est non nul, alors {x, f(x), f²(x)} est nécessairement une base de E, et que dans cette base, f a pour matrice la matrice de l'énoncé.

j'ai un peu avancé, pouvez-vous me dire ce que vous en pensez et les points que je dois éclaircir:

Soit x un élément de E ; f² différent de 0 donc f²(x) différent de 0.
Considérons (a,b,c) appartenant à R^3 tels que :   ax+bf(x)+cf²(x)=0 ;

f( ax+bf(x)+cf²(x) ) = 0

on a :  af(x)+bf²(x)+cf^3(x)=0  or f^3=0 quel que soit x

donc af(x)+bf²(x)=0 , on réitère :  af²(x)+bf^3(x)=0  or f^3=0 et f²différent de 0 donc a=0

de même, a=b=c=0 donc {x, f(x), f²(x)} est une base de R^3 donc de E car le cardinal de cette base est 3.

et je dis que la matrice de f dans cette base est celle de l'énoncé mais comment le prouver?

et comment avoir l'écriture de g(x) dans cette base????
Merci beaucoup

Ca va pour le début sauf que f² différent de zéro donc il EXISTE un x  tel que...

La matrice est bien celle que tu dis  : tu écris en colonne les composantes de l'image par  f  de ta base, première colonne  f(x) = 0x + 1 f(x)+ 0f²  etc...

g(x) =  ax+ b f(x) + c f²(x)

erreur de manip : il existe  a,b, c  tels que l'on ait cette égalité.

Maintenant calcule  g(f(x))  et  g(f²(x)) .

g(f(x))=af(x)+bf²(x) et

g(f²(x))=af²(x)+c f^4(x) mais après ca m'avance à quoi?
Merci

tes formules sont fausses ! Attention x  est fixé tu dois composer à gauche et utiliser la commutativité....

pardon tes formules sont justes...mais tu peux les laisser ainsi :

g(x) = a x+ b f(x)+ c f²(x)

donc  g(f(x)) = a f(x) + b(f(f(x))  + c f²(f(x))  et

g(f^2(x)) = a f^2(x) + b(f(f^2(x))  + c f²(f^2(x))  

conclusion  g  et   a I + b f + cf^2  coincident sur une base donc sont égaux partout !

Les endomorphismes qui commutent à  f  sont les polynômes en  f  (les  aI+bf + cf^2)

Ne fait la méthode précédente est (trop) générale ,.... le plus simple est de prendre une mmatrice arbitraire M  avec 9 coefficients é écrire  NM=MN  ici tu dois trouver les matrices triangulaires inférieures