Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Problème et merci par avance
Bonjour
J'ai tout petit problème avec ce problème. Avez vous une idée?
Problème :
On considère pour et réels positifs, les quantités suivantes :
A = X/2 + Y/2
B = 1/ (1/X + 1/Y)
C = Racine(XY)
classer ces quantités
Merci d'avance
Etant donné que j'ai un niveau assez moyen, pouvez vous détailler un peu le problème merci beaucoup
Bonjour,
te donner la réponse ne sert à rien, c'est t'apprendre à raisonner et à sentir un problème qu'il faut!
Fais quelques essais en remplaçant X et Y par des entiers strictement positifs puis conjecture les inégalités attendues.
Ensuite pour les démontrer, raisonne à l'envers en partant de ces inégalités, et transforme-les en inégalités équivalentes mais plus simples.
Exemple: si tu as l'impression que ,
écris que ça équivaut à ...ce qui est vrai ou pas?
(pense aux identités remarquables...)
Donne -nous tes raisonnements, et on verra!
Tigweg
Essayons, je sais pas si j'ai bon
Prenons par exemple comme tu dis : X= 3 et Y = 4
Remplaçon dans l'inegalité plus haut : ce qui donne
X + Y - 2 racine(XY) >= 0 qui donne 7 - 2racine(12) >= 0 car la réponse est 0.07....
Est ce qu'on peut dire que A est plus grand que B ?
Ce n'est pas à 0 qu'il faut comparer tes résultats, c'est entre eux!
Si ta calculette te donne un résultat plus grand pour A que pour B, tu conjectureras que A>B, tout bêtement!
Mais tu ne m'as pas écouté, tu as grillé une étape!
Commence par tester les valeurs de A,B et C pour quelques valeurs de X et de Y puis conjecture l'ordre de A,B,etC.
C'est seulement après ta conjecture qu'il faut commencer à travailler sur les inégalités!
De plus,
X + Y - 2 racine(XY) >= 0 qui donne 7 - 2racine(12) >= 0 car la réponse est 0.07....
Est ce qu'on peut dire que A est plus grand que B ?
>Ce serait plutôt A>C, non?
Ok si je prends X =1 et Y = 2
A = 1.5
B= 2/3 = 0.666
c =racine(2) = 1.414
Je prends X = 3 Y = 5
A = 4
B = 15/8 = 1.875
c = racine(15) = 3.87
Je peux déduire que A > C > B ?
Est ce que je suis sur la boone voie?
Est ce que je suis sur la boone voie?
>Oui!
Je peux déduire que A > C > B ?
>Tu n'as rien démontré!
Tu sais juste à présent que c'est ça qu'il faut démontrer, et c'est toujours bien de savoir ce qu'on doit démontrer!
Je sais que je suis un peu lent à la compréhension :
Donc A > C > B?
X/2 + Y/2 >= racine(XY)
X+Y >= 2 racine(XY
X + Y - 2 racine(xy) >= 0
et C > A
racine(xy) >= 1/ (1/X + 1/Y)
ce qui donne (Y + X).racine(xy) - xy >= 0 non ?
c'est bon ou je me suis planté encore
Donc A > C > B?
>Tu l'as uniquement vérifié sur un exemple particulier (pour X=1 et Y=2), ça ne
[quote]X/2 + Y/2 >= racine(XY)
X+Y >= 2 racine(XY
X + Y - 2 racine(xy) >= 0
> Pourquoi a-t-on X + Y - 2 racine(xy) >= 0?
Est-ce évident?A expliquer!
et C > A
>Tu es sûr de ta conclusion?
> Pourquoi a-t-on X + Y - 2 racine(xy) >= 0?
Est-ce évident?A expliquer!
On a ça parce que on suppose que A > C
Je sais si je vais faire est bon ou je me plante completement
Si je dis que (x+y)² >= 0
donc si je developpe (X+Y) >= 2racine(xy)
alors (x+y) ² >= 4xy ?
Je fais fause route?
On a ça parce que on suppose que A > C
Où l'as-tu prouvé??
Tu es en Maths Sup et tu ne sais pas faire la différence entre un exemple et une preuve??
Si je dis que (x+y)² >= 0
donc si je developpe (X+Y) >= 2racine(xy)
alors (x+y) ² >= 4xy ?
>Je ne comprends pas:
qu'est-ce que x et y par rapport à X et Y?
Il faut aboutir au résultat
où l'as-tu prouvé?
Ton développement est faux!
Indication: pose u=
X et v=Y,
quel calcul ne dépendant que de u et de v a pour développement
Excuse moi je ne suis pas en maths sup, j'ai juste un bac ES, mais bon je dois résoudre ça parce que j'ai un test à faire.
Si tu veux j'ai besoin juste de quelques indications pour prouver la chose...
Comment prouver X + Y - 2 racine(xy) >= 0 est vrai?
Est ce que tu dois passer par un autre résultat du genre (X+Y)² >= 0 qui est toujours positif pour comparer X+Y à 2racine(xy)?
merci par avance
OK, bon je t'ai donné l'indication juste avant.
Ton idée est la bonne mais avec u et v, pas avec X et Y.
De plus, ce ne sera pas forcément (u+v)²...Pense aux autres identités!
j'ai une idée mais je bloque à un moment
Si je considère (u-v)² sachant que u = racine(x) et v = racine(y)
(u-v)² >= 0
ce qui donne
u²-2uv+v² >= 0
ou encore
(u²+v²) >= 2uv
encore
x+y >= 2racine(xy)
C'est bon?
Tu es bien d'accord que j'ai démontré A>C quid de C>B?
On est d'accord.
Les racines, c'est embêtant.
Peut-on se ramener à une inégalité équuivalente, mais qui ne comportera plus aucune racine carrée?
racine(xy) > 1/ (1/X + 1/Y)
Est ce que je peux ecrire xy > 1 / 1/X² + 1/Y² et ensuite developper?
Le carré de (1/X+1/Y) ce n'est pas 1/X²+1/Y² !
C'est une identité remarquable plutôt!
Qu'il faut développer bien entendu.
Puré je suis con, je fais des erreurs de débutants.
Donc je recommence xy > 1 / 1²/ (1/X + 1/Y)²
ce qui donne (1/X + 1/Y)² = 1/x² + 2/xy + 1/y²
= y² + 2xy + x² / x²y²
au final on a xy > x²y²/ y²+2xy + x²?
Est ce que je suis sur la bonne voie sachant que y²+ 2xy + x² = (x+y)²
Je sens que c'est pas top
Je te propose de ne pas réduire au même dénominateur, mais de faire passer directement la parenthèse (1/X²+1/Y²+2/(XY)) du côté droit de l'inéquation, et de distribuer par rapport à XY.
Qu'obtiens-tu?
Donc dis moi si je me gourre encore une fois
Donc si je ramene (1/X²+1/Y²+2/(XY)) a gauche j'ai
XY[(1/X²+1/Y²+2/(XY))] >= 1
Ce qui donne :
[Y/X + X/Y +2] >= 1
Donc
[Y/X + X/Y +2 -1 ] >= 0
on a
[Y/X + X/Y + 1 >= 0
Je ramene sous le meme dénominateur partout j'ai
Donc j'ai (y² + x² + xy ) / xy >= 0
au final j'ai y² + x² + xy >= 0
y²+ x²+ xy + xy >= xy
donc (y + x)² >= xy
je suis sur la bonne voie ou c'est encore du n'importe quoi
Tout est juste mais à ce stade
Y/X + X/Y + 1 >= 0
tu peux t'arrêter.
En effet X et Y sont positifs, donc le membre de gauche aussi
Autrement dit tu as démontré ce qu'il fallait!
Merci beaucoup Tigweg...
Je te dois combien?
Annuler
connectez vous
algèbre en post-bac