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Problème formule a/(b/c) = ac/b

Posté par
Hoera 13-06-16 à 00:07

Bonjour à tous, je suis actuellement dans mes révisions pour le bac, plus particulièrement en train de réviser la dérivabilité de fonctions et pour cela je me sers d'un livre qui synthétise les cours vus cette année type "annabac"
Je cherche à calculer le nombre dérivé en 2 pour f(x) = 1/x (autrement dit, je cherche f'(2) en fait)
D'apres le livre, on a :

\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h}=\frac{\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}}{h}.

Or, 2-(2+h) = -h (encore d'après le livre et je n'y vois pas de problème)

Et \frac{-h}{\frac{2(2+h)}{h}}=\frac{-h}{2(2+h)}*\frac{1}{h}=\frac{-h}{h*2(2+h)}=\frac{-1}{2(2+h)}

Calculer le nombre dérive est alors facile :

\lim_{h\rightarrow 0} \frac{-1}{2(2+h)}=-\frac{1}{4}
D'ailleurs cela est correct, si f(x) =\frac{1}{x}, alors f'(x)=\frac{-1}{x²} et \frac{-1}{2²}=-\frac{1}{4}

Comme je comprenais rien aux fractions à trois étages au début, j'ai un peu experimenté avec ma calculatrice pour connaitre les regles de calcul, et j'ai pu observer qu'on résout les etages inferieurs en premier. Pour aller plus loin, j'ai cherché des formules pour simplifier encore les calculs et je suis tombé la dessus :

\frac{a}{\frac{b}{c}}=\frac{ac}{b}. En y reflechissant, ca semble correct :

\frac{a}{\frac{b}{c}}=a*\frac{c}{b}  car on multiplie par l'inverse.

C'est la que les choses se compliquent. Revenons à notre situation de tout à l'heure.

On a \frac{-h}{\frac{2(2+h)}{h}}. D'après la formule précédente, on peut transformer l'écriture de la fraction :

\frac{-h}{\frac{2(2+h)}{h}} =\frac{-h*h}{2(2+h)}=\frac{-h²}{2(2+h)}  et la on se rend compte que c'est totalement different de ce qu'on avait tout a l'heure. Au lieu d'avoir h/h on a h*h et on se retrouve avec un carré...

Y-a-t-il un concept que je ne comprends pas ou ai-je oublié un détail ?

Posté par
carpediemre : Problème formule a/(b/c) = ac/b 13-06-16 à 00:12

salut

le détail c'est simplement que tu as changé les positions du = entre

Citation :
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h}=\frac{\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}}{h}.
et
Citation :
Et \frac{-h}{\frac{2(2+h)}{h}}=\frac{-h}{2(2+h)}*\frac{1}{h}=\frac{-h}{h*2(2+h)}=\frac{-1}{2(2+h)}
et
Citation :
On a \frac{-h}{\frac{2(2+h)}{h}}.


....

Posté par
carpediemre : Problème formule a/(b/c) = ac/b 13-06-16 à 00:14

salut

le détail c'est simplement que tu as changé les positions du = entre

Citation :
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h}=\frac{\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}}{h}.
et
Citation :
Et \frac{-h}{\frac{2(2+h)}{h}}=\frac{-h}{2(2+h)}*\frac{1}{h}=\frac{-h}{h*2(2+h)}=\frac{-1}{2(2+h)}
et
Citation :
\frac{-h}{\frac{2(2+h)}{h}} =\frac{-h*h}{2(2+h)}=\frac{-h²}{2(2+h)}


....

Posté par
mdr_nonre : Problème formule a/(b/c) = ac/b 13-06-16 à 00:14

bonsoir : )

\large \boxed{\frac{-h}{\frac{2(2 + h)}{h}} = \frac{-h}{1}\times\frac{h}{2(2 + h)} = -\frac{h^2}{2(2 + h)}}

MAIS ce n'est pas ce qu'on avait :

\large \boxed{\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \frac{\frac{-h}{2(2 + h)}}{h} = \frac{-h}{2(2 + h)}\times\frac{1}{h} = -\frac{1}{2(2 + h)}}

Posté par
Hoerare : Problème formule a/(b/c) = ac/b 13-06-16 à 00:21

Ah oui d'accord la position du signe = indique s'il s'agit de (a/b)/c ou a/(b/c) c'est bien ca ?

Posté par
mdr_nonre : Problème formule a/(b/c) = ac/b 13-06-16 à 00:23

Oui.

Posté par
Hoerare : Problème formule a/(b/c) = ac/b 13-06-16 à 00:28

Donc en presence de (a/b)/c, le = sera en bas et pour a/(b/c) le = sera en haut, et c'est uniquement dans cette configuration qu'on pourra utiliser la formule ac/b

Posté par
mdr_nonre : Problème formule a/(b/c) = ac/b 13-06-16 à 00:39

Oui c'est bien ça à cause des priorités des opérations.

(a/b)/(c/d) le = sera au milieux.

\large \boxed{\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{\frac{a}{b}\times 1}{c} = \frac{a}{b}\times\frac{1}{c} = \frac{a}{bc}}

\large \boxed{\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{\frac{a}{1}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{1}\times\frac{c}{b} = \frac{ac}{b}}

Posté par
mdr_nonre : Problème formule a/(b/c) = ac/b 13-06-16 à 00:41

Ou encore :

\large \boxed{\frac{\frac{a}{b}}{c} = \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{1}} = \frac{a}{b}\times\frac{1}{c} = \frac{a}{bc}}

\large \boxed{\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{\frac{a}{1}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{1}\times\frac{c}{b} = \frac{ac}{b}}

Posté par
Hoerare : Problème formule a/(b/c) = ac/b 13-06-16 à 00:44

D'accord, j'ai encore une derniere question

Si on veut simplifier une fraction sans passer par des formules, on commence par calculer et simplifier la partie qui dispose de la plus petite barre de fraction (donc la partie la plus éloignée du signe = ) ?

Posté par
mdr_nonre : Problème formule a/(b/c) = ac/b 13-06-16 à 00:47

Oui simplifie d'abord les petites fractions, ensuite tu remontes à la fraction principale.

Posté par
Hoerare : Problème formule a/(b/c) = ac/b 13-06-16 à 00:49

Ok merci pour ton aide

Posté par
mdr_nonre : Problème formule a/(b/c) = ac/b 13-06-16 à 00:51

Exerce toi pour te rassurer.

De rien : ) Bonne continuation : )

Posté par
carpediemre : Problème formule a/(b/c) = ac/b 13-06-16 à 18:57

on simplifie comme on veut .... du moment qu'on respecte les règles de calcul !!!

par exemple :: \dfrac {\dfrac a {2d}} {\dfrac b {3d}} = \dfrac {\dfrac a 2}{\dfrac b 3}


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