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Problème Géométrique: figure dans un quadrillatère
Bonjour à tous,
Voilà mon soucis : dans l'exercice suivant, j'ai réussi à faire le 1).
Si-dessous, l'énoncé :
ABCD est un quadrilatère convexe quelconque, I, J, K et L sont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA].
1. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ? [déjà fait, voir mon raisonnement dessous)
2. A quelle condition IJKL est-il un losange ? Un rectangle ?[question sur laquelle j'ai une idée mais je n'arrive pas à l'expliquer]
RAISONNEMENT :
1. D'après la relation de Chasles, j'ai : (toutes les lettres sont des vecteurs, par paire)
LI = LA + AI
Or L est le milieu de DA et I est le milieu de AB, alors :
LI = 1/2 DA + 1/2 AB
LI = 1/2 (DA + DB)
LI = 1/2 DB (d'après la relation de Chasles)
De même avec KJ. On obtient donc KJ = 1/2 DB
Or KJ = 1/2 DB et LI = 1/2 DB donc (KJ)//(DB) et (LI)//(DB) étant donné que des vecteurs égaux sont parallèles (cf. définition des vecteurs).
Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. [ (LI)//(DB) et (KJ)//(DB) donc (LI)//(KJ) ]
De plus, deux vecteurs égaux ont la même longueur : [KJ]=[LI].
Un quadrilatère ayant deux côtés opposés de même longue et parallèles est un parallélogramme.
LIJK est donc un parallélogramme.
(fin de raisonnement)
2. Voilà, j'ai trouvé que si les diagonales du quadrilatère ABCD sont de même longueur, (et ne se coupent ni en angle droit ni en leur milieu) alors la figure LIKJ est un losange.
Et que si les diagonales de ABCD se coupent en angle droit, on obtiendra alors un quadrillatère IJKL de nature rectangle.
Je pense qu'il faut que je passe par le résultat du 1. soit LI = KJ = 1/2 DB
Je bloque là dessus, autrement dit, j'ai les idées mais je n'arrive pas à démontrer (notre professeur veut qu'on démontre...) pourquoi si les diagonales se coupent disont en angle droit on a un rectangle... (de même pour le losange!)
pour que ton quarilatère soit u losange, il faut que les côtés soient de même longueur, que tes diagonales se coupent en leu milieu et soient perpendiculaires.
De plus un losange est u parallélogramme.
Oui, c'est aussi l'hypothèse que j'avais émise, mais je dois démontrer cela...
En fait, il faut que je le démontre en passant par ABCD qui est la figure de départ...
Bonjour
1) une imprécision de cours
Or KJ = 1/2 DB et LI = 1/2 DB (en vecteurs) donc LI = KJ
donc (c'est le cours sur les vecteurs)
LIJK est donc un parallélogramme.
Dans ce que tu as mis, il y a des imprécisions ... et franchement cela ne vaut pas le coup de redémontrer plus ou moins rigoureusement (à cause du convexe) le théorème du cours)
"donc (KJ)//(DB) et (LI)//(DB) étant donné que des vecteurs égaux sont parallèles (cf. définition des vecteurs).
Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. [ (LI)//(DB) et (KJ)//(DB) donc (LI)//(KJ) ]
De plus, deux vecteurs égaux ont la même longueur : KJ=LI.
Un quadrilatère CONVEXE ayant deux côtés opposés de même longue et parallèles est un parallélogramme.
LIJK est donc un parallélogramme."
Une autre idée
droite des milieux dans ABD puis dans BCD donnera (IL) // (BD) // (KJ) et IL = KJ = 1/2 BD
de même (IJ) // (KL) et IJ = KL = 1/2 AC
et les parallèles et les longueurs devraient d'aider pour la suite ...
Merci pour ta correction sur mes imprécisions, elles sont corrigées...
Ce que je n'ai pas compris c'est comment arriver à démontrer que si les diagonales de ABCD sont de même longueur, alors LIJK est un losange.
Et pareillement pour le rectangle : si les diagonales de ABCD se coupent en angle droit alors LIJK est un rectangle.
"Ce que je n'ai pas compris c'est comment arriver à démontrer que si les diagonales de ABCD sont de même longueur, alors LIJK est un losange."
c'est là: IL = KJ = 1/2 BD et IJ = KL = 1/2 AC
"pareillement pour le rectangle : si les diagonales de ABCD se coupent en angle droit alors LIJK est un rectangle."
idée: (IL) // (BD) // (KJ) et (IJ) // (AC) // (KL)
Voilà mon raisonnement à partir de ton aide pour le losange :
Lorsque ABCD possède des diagonales de même longueur, alors IJKL est un losange car :
[démonstration semblable au 1) qui aboutit à la conclusion IJ = KL = 1/2 AC]
IJ = KL = 1/2 AC
Et comme AC = DB et que (cf définition des vecteurs) deux vecteurs égaux ont la même longueur, alors :
1/2 DB = LI = IJ = 1/2 AC
Donc LI = IJ.
De plus, [LI] et [IJ] sont deux côtés consécutifs du parallélogramme LIJK. Et si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux alors c'est un losange.
Ici, le parallélogramme LIJK a ses deux côtés ([LI] et [IJ]) consécutifs égaux : c'est donc un losange.
Fin de raisonnement.
Je réfléchis encore pour le rectangle...
Je pense qu'il faut jouer sur ses diagonales de même longueur.
Mais par quelle technique doit-on passer ? Les vecteurs ? Des propriétés (en plus que celle que tu as cité) ou bien les deux ?
ABCD est un losange
donc (AC) et (BD) sont perpendiculaires
comme (LI) // (BD) on aura: (LI) et (AC) perpendiculaires
comme (AC) // (IJ) on aura (LI) et (IJ) perpendiculaires
Merci beaucoup siOk ! Je vais enfin pouvoir "boucler" mon DM... Passe une bonne soirée (et bonne année aussi au passage !)
Bonjour, j'ai un DM de math a rendre et je bloque sur un exercice, pouvez vous m'aidez.
Dans la figure ci dessus les point IJK sont les milieux respectif des cote du triangle ABC.
1. Prouver que les triangle IJK et ABC sont seblable.
2. PReciser le rapport de réduction.
3.Determiner des expressions littérales des airs des aires des triangle IJK et ABC.
4.Comment obtient-ton l'aire du triangle IJK a partir de celle de ABC?
merci de m'aider svp
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