Bonsoir, j'ai quelques difficultés à achever un problème d'algèbre.

Je vais tâcher ici de résumer toute la démarche.
Après avoir rappellé quelques propriétés de l'application 'trace' (linéarité, commutativité et qu'une matrice et sa matrice semblable ont même trace).

A est une matrice carrée d'ordre n diagonalisable ayant n valeurs propres distinctes.


On propose ensuite de trouver une méthode permettant de déterminer les coefficient du polynôme P associé à la matrice A et lorsqu'elle est inversible, de calculer son inverse.

J'ai montré que

En posant
J'ai prouvé tant bien que mal que le système d'inconnues



avait une solution unique et que :

On admet ensuite que

J'ai ensuite prouvé que P(A) = 0 puis que P inversible <=>
De plus lorsqu'elle existe :
  
Vient ensuite :


J'ai montré que

et que     

Je dois maintenant en déduire que et que
Et enfin que A inversible <=>

Voilà, je suis plutôt désemparé à vrai dire, je pense apercevoir la solution mais je n'arrive pas à m'y retrouver en identifiant avec les d_k. Je pense que c'est plus dans le calcul que dans le raisonnement que je pêche, si vous pouviez donc m'apporter vos lumières...

Merci beaucoup !