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probleme matrices

Posté par
lavezzi 05-03-13 à 18:37

bonjour,

j'ai des problèmes sur cet exercice, j'aurai besoin de conseils et d'aide.

Voila l'énoncé:

on considère les matrices A=(1 2 1
                             2 1 1
                             1 1 2)
et J=(1 1 1
      1 1 1
      1 1 1)
1.Démontrer que pour tout entier naturel n,

A^(2n)=I3 + ((16^n -1)/3)*J
Je sais qu 'il faut faire une recurrence mais je n'arrive pas a aboutir au resulat final.
En déduire A^(2n) en extension

2.calculer A^(2n + 1) en extension
3.calculer A^(-1)

merci d'avance pour l'aide.
cordialement lavezzi

Posté par
lavezziprobleme matrices 05-03-13 à 21:36

?

Posté par
alb12re : probleme matrices 05-03-13 à 21:41

salut,
ce serait bien de débuter la récurrence ...
initialisation:
que faut-il vérifier ?

Posté par
slorevivre : probleme matrices 05-03-13 à 21:47

bonsoir
A^{2\times 0}=I_3 + ((16^0 -1)/3)\times J evident  essayons n=1

A^{2\times 1}=I_3 + ((16^1 -1)/3)\times J? d'abord


A²=(6,5,5
    5,6,5
    5,5,6)

donc A^2==I_3 + ((16^1 -1)/3)\times J

Posté par
slorevivre : probleme matrices 05-03-13 à 21:47

desolee je vous laisse

Posté par
alb12re : probleme matrices 05-03-13 à 21:49

@sloreviv
tu peux continuer je dois quitter.

Posté par
lavezzire : probleme matrices 05-03-13 à 22:00

oui sa j'arrive mais je bloque sur la démonstration

il faut faire A^(2(n+1))=A^(2n)*A²

apres je remplace , j'arrive pas
Pouvez vous m'aider svp.

Posté par
alb12re : probleme matrices 05-03-13 à 22:23

bon je reviens mais cela risque d'être provisoire.
remplace A^(2n) et développe.

Posté par
veledare : probleme matrices 06-03-13 à 08:30

bonjour,
A^{2(n+1)}=A^{2n}.A^2=(I+\frac{16^n-1}{3}J)(I+5J)=I+\frac{16^n-1}{3}J+5J+5\frac{16^n-1}{3}J^2
et tu sais que J^2=3J

Posté par
lavezzire : probleme matrices 06-03-13 à 09:20

ensuite on factorise ?

Posté par
veledare : probleme matrices 06-03-13 à 09:41

tu regroupes les termes en J
(\frac{16^n-1}{3}+5+5\frac{16^n-1}{3}.3)J=(\frac{16^n-1}{3}+15\frac{16^n}{3})J=\frac{16^n+(16-1)16^n-1}{3}J=..

Posté par
lavezzire : probleme matrices 06-03-13 à 12:52

je n'arrive pas à obtenir le résultat, je ne vois pas apparaitre le I3.
dans ta récurrence , je crois vous l'avez oublié ?

Posté par
alb12re : probleme matrices 06-03-13 à 13:28

le I3 est dans l'écriture de 8h30 pas dans celle de 9h41

Posté par
lavezzire : probleme matrices 06-03-13 à 14:26

je n'ai point le résultat final, quelqu'un peut-il m'aider ?

Posté par
Camélia Correcteurre : probleme matrices 06-03-13 à 14:31

Bonjour

veleda a fait tout le calcul!

Posté par
lavezzire : probleme matrices 06-03-13 à 16:05

c'est bon , j'ai trouvé la récurrence.Mais comment faire pour les questions 2 et 3.
Merci d'avance.

Posté par
Camélia Correcteurre : probleme matrices 06-03-13 à 16:12

A^{2n+1}=A^{2n}\times A

Posté par
lavezzire : probleme matrices 06-03-13 à 16:28

oui j'ai remplacé et j'ai réussi a obtenir une matrice final .

Encore une dernière chose , la 3 , l inverse il faut la faire avec le déterminant ?
merci d'avance.

Posté par
lavezziprobleme matrices 06-03-13 à 17:50

?

Posté par
lavezzimatrices 06-03-13 à 22:45

comment déterminer la matrice inverse de A ?

Posté par
veledare : probleme matrices 06-03-13 à 22:52

*si tu calcules A.J tu trouves A.J=4J doncJ=\frac{A.J}{4}
tu as trouvéA^2=5J+I=>A^2=\frac{5}{4}A.J+I
tu en déduis I=A^2-\frac{5}{4}A.J=A(A-\frac{5}{4}J)
doncA^{-1}=A-\frac{5}{4}J
*j'ai aussi calculé A^{-1} en prenant la matrice sous la forme M=
a a' a"
b b' b"
c c' c"
et en écrivant que  M.A=I on détermine facilement les 9 coefficients
a=\frac{-1}{4} a'=\frac{3}{4}   a"=\frac{-1}{4}....


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