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Problème:Matrices Stochastiques
Bonsoir, je travaille sur un problème d'algèbre, plus précisément portant sur les matrices. Quelques questions me posent problème, et c'est pour cela que je fais appel à vous.
Définitions: -On appelle matrice stochastique une matrice dont la somme des éléments d'une ligne quelconque est égal à 1 et tous les éléments sont positifs ou nuls.
-On appelle matrice déterministe une matrice stochastique dont tous les éléments sont égaux à 1 ou à 0. L'ensemble de ces matrices est noté Dp
-Enfin on note l'ensemble des matrices déterministes inversibles.
1.a. J'ai montré que Dp est un ensemble fini à éléments
b. J'ai montré que le produit de 2 éléments de Dp appartient à Dp
c.Soit A appartenant à Dp. Prouver qu'il existe r 
1 tels que .
d.J'ai montré que si A inversible =I et que si A appartient à Dp, alors l'inverse de A aussi.
e. Determiner le cardinal de
2.Soit X et Y stochastiques tels que XY=I . On se propose de démontrer que X et Y appartiennent à
a.On pose X=() et Y=(
) et pour tout j compris entre 1 et p,
. Prouver que
. Pour cela on pourra calculer le coefficient
de XY.
b. J'ai montré que les coefficients de Y sont égaux à 0 ou 1
c. J'ai enfin prouver que X et Y appartiennent à .
d. Plus généralement soit U et V deux matrices stochastiques tels que le produit UV appartient à . Prouver que U et V appartiennent à
Les questions qui me posent problèmes sont
-1.c (je pense à dire que si un tel entier n'existe pas alors Dp n'est pas fini)
-1.e
-2.a (J'essaie d'utiliser le fait que et
pour i différent de j
-2.d
Bonsoir Laurierie
A priori, je ne suis pas d'accrod avec toi pour la première question !
Comment as-tu compté ?
Kaiser
Il y'a p maniere de placer le 1 dans chaque colonne et p colonne. Est ce que tu peux m'aider pour les autres questions s'il te plait? Merci beaucoup !! 
Pour 1)c), je pense qu'un tel argument devrait fonctonner. Mais le résultat doit être vrai pour tout entier m ?
Pour la 1)e), il suffit de remarquer que pour que la matrice soit inversible, il faut que chaque chaque colonne contiennent exactement un seul 1 (d'ailleurs dans ton message précédent, je pense que tu voulais plutôt dire "placer le 1 dans chaque ligne" ?)
-Pour la 1.c, il faut prouver qu'il existe un entier r plus grand ou égal à 1 et m plus grand ou égal à 0 (ce que j'avais oublié de précisé)
-Oui je voulais dire ligne. En fait il faut utiliser le fait que les colonnes forment une famille libre je pense (c'est un critere d'inversibilité)
Par contre je galère depuis hier pour la 2.a...
Merci pour ta patience
Bonjour Laurierie
Pour la 1)c), ton idée a du bon. En effet, il suffit d'utiliser le fait que parmi les matrices
, il y en au moins 2 qui sont égales.
Pour la 1)e), c'est bien ce qu'il faut faire.
POue la 2)a), pour j fixé, considère un entier i tel que (cet entier existe car XY est dans
).
Ensuite, comme indiqué dans l'énoncé, calcule ce coefficient en fonction de ceux de X et Y (par la formule habituelle). Ensuite, essaye de majorer en utilisant .
Kaiser
Salut Kaiser et merci pour ta réponse.
-Pour la 1.e je trouve p!.
-Pour la 2.a, seulement pour i=j puisque XY=I .Donc j'exprime ai,j en fonction des coefficients de X et Y (formule avec la somme...) puis selon les cas, ai,j=0 ou aj,j=0. On sait d'ores et déja que les
sont inférieures ou égaux à 1. J'essaie donc d'en trouver 1 qui est égal à 1 et c'est la que je bloque, je vois pas comment majorer.
-Pour la 2.d j'ai finalement réussi en me ramenant au cas ou XY=I. En effet UV=C avec C appartenant à Delta.p implique C inversible donc (C^-1.U).V=I et C^-1.U appartient à l'ensemble des matrices stochastiques.
Peux tu me filer un dernier coupe de main pour la 2.a ? Merci beaucoup
Avec la formule du produit matriciel, on a :
.
Ensuite, on sait que .
En majorant la somme précédente (qui est égal à 1) à l'aide de , on aboutit à une minoration de
qui est fait une égalité.
Est-ce plus clair ?
Oui c'est bien plus clair. J'étais bel et bien bloqué ici: je n'avais pas pensé à faire la majoration en utlisant uj. On aboutit effectivement à une minoration mais on sait aussi que uj inférieur ou égal à 1 par définition d'une matrice stochastiques. D'ou le résultat.
Merci pour toute ton aide indispensable, et tes explications précises. A bientôt sur l'ile et merci encore 
!
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