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Problème - Optimisation volume/surface

Posté par
Aexon
26-09-16 à 22:08

Bonjour, j'ai un problème à faire pour dans quelques jours, mais même après avoir cherché plusieurs jours, je ne vois pas trop comment le résoudre.

Voici l'énoncé :
Un artisan fabrique des boîtes cylindriques en carton dont le couvercle est une demi-sphère. La contenance de la partie cylindrique est de 1L. Quelles sont les dimensions que doit choisir l'artisan pour minimiser le coût en utilisant une surface de carton la plus petite possible ?

J'ai essayé avec des équations et et un système mais ça n'a abouti à rien.

Merci !

Posté par
philgr22
re : Problème - Optimisation volume/surface 26-09-16 à 22:09

Bonsoir ;
Qu'as tu trouvé comme fonction pour la surface?

Posté par
philgr22
re : Problème - Optimisation volume/surface 26-09-16 à 22:12

Tu as bien un systeme d'equations pour traduire le texte :il faut que tu exprimes la surface totale en fonction d'une seule inconnue

Posté par
Aexon
re : Problème - Optimisation volume/surface 27-09-16 à 17:01

Pour la surface j'ai
Aire cercle (base du cylindre) + aire du cylindre (latérale uniquement) + aire demi-sphère.
Ce qui donne :
A = πr²+2πrh+2πr²
A = πr(3r+2h)
Et pour le volume du cylindre j'ai :
V = πr²h

Mais je ne vois pas trop étant donné que je ne les ai pas sous forme d'équations, je met (calcul de l'air) = 1 ? (volume de l'air) = 1 ?
Et du coup je dois passer des L aux m³ ?

Merci.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème - Optimisation volume/surface 27-09-16 à 17:08

tu sais que le volume de la partie cylindrique vaut 1 l donc 1dm3 donc tu peux écrire πr²h = 1 et donc remplacer h par 1/(πr²) dans l'expression de l'aire.

Posté par
philgr22
re : Problème - Optimisation volume/surface 27-09-16 à 18:40

C'est un exercice assez classique ; tu as une fonction qui depend de deux inconnues mais qui sont liées l'une à l'autre ;tu peux donc l'exprimer comme fonction à une seule inconnue .Ici, la plus simple est r

Posté par
Aexon
re : Problème - Optimisation volume/surface 28-09-16 à 15:54

Oui donc j'obtiens 3πr²+2/r mais là je ne vois pas :/

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème - Optimisation volume/surface 28-09-16 à 18:06

tu dois trouver le minimum de cette fonction.

Posté par
philgr22
re : Problème - Optimisation volume/surface 28-09-16 à 21:02

Aexon @ 28-09-2016 à 15:54

Oui donc j'obtiens 3πr²+2/r mais là je ne vois pas :/

Theoreme fondamental : le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction!



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