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problème ouvert
Bonsoir, j'ai un dm a rendre et je n'arrive pas à finir mon exercice, je ne sais pas comment poursuivre
F(x)= 2 ln x définie sur ]0; + infini[
Cf est la courbe représentative de f.
au point O(0;0) il y a un village inaccessible par la route. En quel point de la route, doit on s'arrêter pour être au plus près du village ?
Ce que j'ai fait :
si jai bien compris on cherche à déterminer le minimum de la fonction.
On pose M un point de la courbe de coordonné (Xm; Ym).
On calcul la distance OM^2
Donc OM^2=(Xm-Xo)^2+(Ym-Yo)^2
Ce qui donne OM^2= Xm+Ym
On peut remplacer Ym par f(x) soit OM^2=Xm+ 2 ln x
Voilà, il faut maintenant que je trouve une équation, avec laquelle j'etudirai le signe et les variation de la fonction.
j'en deduirai ainsi le minimum qui sera ma réponse finale...
Pourriez vous m'aider à trouver l'équation en fonction de ce que j'ai fait svp?
bonjour
attention, où ont-disparu les ^2?
et M étant un point de Cf son abscisse est tout simplement x..
la distance OM minimale quand OM2 minimale
tu peux étudier les variations de cette fonction en posant par exemple g(x)=OM2=...
Ha oui donc,
g'(x)= 2x + (ln x/x)
= (2x^2 + 2 ln x)/x
Cest ca ?
Ensuite on étudie signe et variation...?
Merci bcp
non...
c'est (lnx)^2
pas ln(x^2)...
la dérivée de u2 est 2uu'
ici u=ln(x)
et on multiplie le tout par 4
oui ok mais quand tu le mets sur le même dénominateur ça devient 2x^2 et non pas 2x^3
bon maintenant que tu as fait ça, comme x>0 (intervalle de déf de g), g'(x) est du signe de 2x^2+8ln(x)=h(x)
étudie maintenant les variations de h, les limites aux bornes de son ensemble de définition et applique le TVI pour avoir son signe et donc le signe de g'(x), puis finalement les variations de g
H(x)= 2x^2 + 8 ln x
= x(2x + 8 ln x/x)
X>0 et 2x>0 donc cest du signe de 8 lnx/x
8 ln x/x = 0
<=> x=1
8 ln x /x > 0
<=> x>1
Donc g est décroissante sur ]0;1[ et croissante sur ]1;+ infini[
ce que tu as fait aurait marché si on avait eu un produit
là c'est une somme.
pour t'en convaincre, h(0.9)~0.78>0
donc ta conclusion est fausse
fais ce que je t'ai dit... dérive h(x), étudie ses variations, limites + TVI pour avoir son signe
H(x)= 2x^2 +8 ln x
h'(x)=( 4x^2 +8)/x
X>0 donc cest du signe de 4x^2 +8
En appliquant le discriminant, je trouve delta= -128 ??? Donc ce n'est pas possible ?
delta négatif donc toujours du signe de a qui est positif...
t'aurais pu voir que 4x^2 toujours positif donc 4x^2+8>0
variations de h +limites (attention au domaine de définition)
H' est positif donc h est croissante sur ]0;+infini[
H(x)= 2x( x + 4 kn x/x)
Limite quand x tend vers +infini de h(x) = + infini
En revanche, la limite quand x tend vers 0, d'après la calculatrice je pense que c'est - infini mais je ne sais pas comment le démontrer
lire
que vaut la limite en 0 avec cette écriture?
le ln n'est pas passé
Ha oui, je viens de regarder mes cours
et effectivement limite quand x tend vers 0 de ln x est -infini
donc par somme lumite de h(x) quand x tend vers 0 est -infini
tu as donc h strictement croissante, la limite en 0 est -oo et en +oo elle est de +oo
applique donc le TVI et déduis en le signe de h(x)
TVI:
H est continué et dérivable sur ]0;+infini[
Soit k un réel
h(x)=k admet au moins une solution dans ]0;+infini[
non
h(x)=0 a une unique solution que l'on note a
à la calculatrice tu peux en établir une valeur approché à 10^(-3) près
donc quel est le signe de h(x)?
c'est pas ça la conclusion..
tu sais que h est strictement croissante et s'annule en a
donc h(x)<0 avant a et h(x)>0 après a
maintenant signe de g'(x) et variations de g puis conclus quant au problème
X>o et on vient de voir de h(x)>0 sur ]a;+infini[ et h(x)<0 sur ]0;a[ donc on en conclue que g(x) >0 sur le même intervalle ET est <0 sur ]0;a[
g(x) est décroissante sur ]0;a[ et croissance sur ]a;+infini[
on peut en déduire que pour x=a g admet un minimum qui est notre réponse au problème
or pour pouvoir calculer g(a) il nous faut la valeur exacte de a et moi j'ai seulement un encadrement... pas la valeur exacte ...?
En quel point de la route, doit on s'arrêter pour être au plus près du village?
donc l'abscisse te suffit
et tu ne peux donner qu'une valeur approchée, ou alors une expression en fonction de a
Donc si on prend a=0,839
G(a)=0,96
Donc il faut que la voiture s'arrête au point A(0.839;096)
Pour être au plus près du village
C'est ça ?
attention!
le point appartient à Cf !!
donc son abscisse vaut a et son ordonnée f(a) pas g(a)
si tu marques ça, précise que ce sont des valeurs approchées
sinon marque donc que c'est au point et reprécise l'encadrement de a
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