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Problème ouvert sur limite fonction puissance TS
Bonjour,
Voici un problème que j'ai dû mal à aborder :
Etudier la limite quand x tend vers + l'infini de ( 1 + a/x )^x
Si quelqu'un peut me mettre sur la voie, merci d'avance ...
y = (1+ a/x)^x
ln(y) = x.ln(1 + a/x)
lim(x-> oo) [ln(y)] = lim(x-> oo) [x.ln(1 + a/x)] = lim(x-> oo) [a.ln(1 + a/x))/(a/x)]
Poser t = a/x.
si x -> oo alors t -> 0
lim(x-> oo) [ln(y)] = lim(t-> 0) [a.ln(1 + t))/t]
Est de la forme 0/0 --> application de la règle de Lhospital.
lim(x-> oo) [ln(y)] = lim(t-> 0) [(a/(1 + at))/1] = a
lim(x-> oo) [ln(y)] = a
lim(x-> oo) [y] = e^a
lim(x-> oo) [(1+ a/x)^x] = e^a
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Le hic est que la règle de Lhospital n'est pas connue en Terminale et donc interdite d'utilisation.
A toi de modifier pour ne pas l'utiliser.
A partir de la ligne:
lim(x-> oo) [ln(y)] = lim(t-> 0) [a.ln(1 + at))/t]
cela devrait aller tout seul avec les notions de Terminales (dont je ne connais pas le programme).
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Sauf distraction. 
Bonjour
2 méthodes pour le prix d'une !
A noter, pour raoul, que
lim (ln(1+u) - ln(1+0))/(u-0) = ( ln(1+u) )' = l/u = 1/1 = 1
u->0
Philoux
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