bnjour a tous voila 3 heures que je bloque sur cet exo :


1) Démontrer par récurrence que pour tout entier n1,
= ((n(n+1)(2n+1))/6

Donc pour cette question c'est bon j'ai réussit à le démontrer.

2) f est la fonction définie sur [0;1] par f(x)=x².
Dans un repére, on note E la partie du plan délimitée par la courbe (C) représentant f, l'axe des abscisses et la droite d'équation x=1.
L'objet du probléme est d'approcher et de calculer l'aire S de la partie E.
Pour cela , on divise l'intervalle [0;1] en n intervalles de même longueur (n*) et on construit les rectangles dans le cas où n=5.

On note Sn la somme des aires des rectangles contenus dans E et Tn la somme des rectangles contenant E.
On a donc pour tout n1, SnSTn.

1) Calculer S5 et T5. On obtient un encadrement de S; quelle est son amplitude?
J'ai mesuré sur ma figure les longueurs et largeur des 2rectangles et multiplier pour faire l'aire des rectangles tout simplement. C'est bon?
Donc j'obtiens comme encadrement 2.08S3.28
Mais pour l'amplitude je ne sais pas.

2)a)vérifié l'égalité: Sn= 1/n[(1/n)²+(2/n)²+...+((n-1)/n)²]

: b) vérifié l'égalité Tn= 1/n[(1/n)²+(2/n)²+...+(n/n)²]


c) Démontrer alors que Tn-Sn=1/n

3a) En utilisant le résultat démontré à la 1ére question, démontrer que
Tn= ((n+1)(2n+1))/6n² puis en déduire une expression de Sn en fonction de n.

Voila je vous remercie d'avance pour toute aide que vous pourrez m'apporter et, je sais que c'est long à lire mais c'est en grande partie de l'explication .

merci

bonjour a tous. Voila 3 heures que je bloque sur cet exo :


1) Démontrer par récurrence que pour tout entier n1,
= ((n(n+1)(2n+1))/6

Donc pour cette question c'est bon j'ai réussit à le démontrer.

2) f est la fonction définie sur [0;1] par f(x)=x².
Dans un repére, on note E la partie du plan délimitée par la courbe (C) représentant f, l'axe des abscisses et la droite d'équation x=1.
L'objet du probléme est d'approcher et de calculer l'aire S de la partie E.
Pour cela , on divise l'intervalle [0;1] en n intervalles de même longueur (n*) et on construit les rectangles dans le cas où n=5.

On note Sn la somme des aires des rectangles contenus dans E et Tn la somme des rectangles contenant E.
On a donc pour tout n1, SnSTn.

1) Calculer S5 et T5. On obtient un encadrement de S; quelle est son amplitude?
J'ai mesuré sur ma figure les longueurs et largeur des 2rectangles et multiplier pour faire l'aire des rectangles tout simplement. C'est bon?
Donc j'obtiens comme encadrement 2.08S3.28
Mais pour l'amplitude je ne sais pas.

2)a)vérifié l'égalité: Sn= 1/n[(1/n)²+(2/n)²+...+((n-1)/n)²]

: b) vérifié l'égalité Tn= 1/n[(1/n)²+(2/n)²+...+(n/n)²]


c) Démontrer alors que Tn-Sn=1/n

3a) En utilisant le résultat démontré à la 1ére question, démontrer que
Tn= ((n+1)(2n+1))/6n² puis en déduire une expression de Sn en fonction de n.

Voila je vous remercie d'avance pour toute aide que vous pourrez m'apporter et, je sais que c'est long à lire mais c'est en grande partie de l'explication .

merci

bnjour a tous voila 3 heures que je bloque sur cet exo :


1) Démontrer par récurrence que pour tout entier n1,
= ((n(n+1)(2n+1))/6

Donc pour cette question c'est bon j'ai réussit à le démontrer.

2) f est la fonction définie sur [0;1] par f(x)=x².
Dans un repére, on note E la partie du plan délimitée par la courbe (C) représentant f, l'axe des abscisses et la droite d'équation x=1.
L'objet du probléme est d'approcher et de calculer l'aire S de la partie E.
Pour cela , on divise l'intervalle [0;1] en n intervalles de même longueur (n*) et on construit les rectangles dans le cas où n=5.

On note Sn la somme des aires des rectangles contenus dans E et Tn la somme des rectangles contenant E.
On a donc pour tout n1, SnSTn.

1) Calculer S5 et T5. On obtient un encadrement de S; quelle est son amplitude?
J'ai mesuré sur ma figure les longueurs et largeur des 2rectangles et multiplier pour faire l'aire des rectangles tout simplement. C'est bon?
Donc j'obtiens comme encadrement 2.08S3.28
Mais pour l'amplitude je ne sais pas.

2)a)vérifié l'égalité: Sn= 1/n[(1/n)²+(2/n)²+...+((n-1)/n)²]

: b) vérifié l'égalité Tn= 1/n[(1/n)²+(2/n)²+...+(n/n)²]


c) Démontrer alors que Tn-Sn=1/n

3a) En utilisant le résultat démontré à la 1ére question, démontrer que
Tn= ((n+1)(2n+1))/6n² puis en déduire une expression de Sn en fonction de n.

Voila je vous remercie d'avance pour toute aide que vous pourrez m'apporter et, je sais que c'est long à lire mais c'est en grande partie de l'explication .

merci

bnjour a tous voila 3 heures que je bloque sur cet exercice :


1) Démontrer par récurrence que pour tout entier n1,
= ((n(n+1)(2n+1))/6

Donc pour cette question c'est bon j'ai réussit à le démontrer.

2) f est la fonction définie sur [0;1] par f(x)=x².
Dans un repére, on note E la partie du plan délimitée par la courbe (C) représentant f, l'axe des abscisses et la droite d'équation x=1.
L'objet du probléme est d'approcher et de calculer l'aire S de la partie E.
Pour cela , on divise l'intervalle [0;1] en n intervalles de même longueur (n*) et on construit les rectangles dans le cas où n=5.

On note Sn la somme des aires des rectangles contenus dans E et Tn la somme des rectangles contenant E.
On a donc pour tout n1, SnSTn.

1) Calculer S5 et T5. On obtient un encadrement de S; quelle est son amplitude?
J'ai mesuré sur ma figure les longueurs et largeur des 2rectangles et multiplier pour faire l'aire des rectangles tout simplement. C'est bon?
Donc j'obtiens comme encadrement 2.08S3.28
Mais pour l'amplitude je ne sais pas.

2)a)vérifié l'égalité: Sn= 1/n[(1/n)²+(2/n)²+...+((n-1)/n)²]

: b) vérifié l'égalité Tn= 1/n[(1/n)²+(2/n)²+...+(n/n)²]


c) Démontrer alors que Tn-Sn=1/n

3a) En utilisant le résultat démontré à la 1ére question, démontrer que
Tn= ((n+1)(2n+1))/6n² puis en déduire une expression de Sn en fonction de n.

Voila je vous remercie d'avance pour toute aide que vous pourrez m'apporter et, je sais que c'est long à lire mais c'est en grande partie de l'explication .

merci

bonjour a tous voila 3 heures que je bloque sur cet exercice :


1) Démontrer par récurrence que pour tout entier n1,
= ((n(n+1)(2n+1))/6

Donc pour cette question c'est bon j'ai réussit à le démontrer.

2) f est la fonction définie sur [0;1] par f(x)=x².
Dans un repére, on note E la partie du plan délimitée par la courbe (C) représentant f, l'axe des abscisses et la droite d'équation x=1.
L'objet du probléme est d'approcher et de calculer l'aire S de la partie E.
Pour cela , on divise l'intervalle [0;1] en n intervalles de même longueur (n*) et on construit les rectangles dans le cas où n=5.

On note Sn la somme des aires des rectangles contenus dans E et Tn la somme des rectangles contenant E.
On a donc pour tout n1, SnSTn.

1) Calculer S5 et T5. On obtient un encadrement de S; quelle est son amplitude?
J'ai mesuré sur ma figure les longueurs et largeur des 2rectangles et multiplier pour faire l'aire des rectangles tout simplement. C'est bon?
Donc j'obtiens comme encadrement 2.08S3.28
Mais pour l'amplitude je ne sais pas.

2)a)vérifié l'égalité: Sn= 1/n[(1/n)²+(2/n)²+...+((n-1)/n)²]

b) vérifié l'égalité Tn= 1/n[(1/n)²+(2/n)²+...+(n/n)²]


c) Démontrer alors que Tn-Sn=1/n

3a) En utilisant le résultat démontré à la 1ére question, démontrer que
Tn= ((n+1)(2n+1))/6n² puis en déduire une expression de Sn en fonction de n.

Voila je vous remercie d'avance pour toute aide que vous pourrez m'apporter et, je sais que c'est long à lire mais c'est en grande partie de l'explication .

merci:)

Bonjour
Es-ce bien utile de poser la même question ( 6 fois) en l'espace de 11 minutes ( une toutes les 2 minutes )
pour le 1) n1 c'est quoi  et qu'es-ce qui vaut = ((n(n+1)(2n+1))/6
ce ne serait pas le somme des carrés des n premiers nombres
le 2) n1 ??
On a donc pour tout n1, SnSTn. ce ne serait Sn < S < Tn
A+

désolé c'est mon 1er post ...

oui c bien 1^2+2^2+...n^2= ((n(n+1)(2n+1))/6 que je dois démontrer par récurence

merci

je dois prouvé par récurence que pour tout n>0 on a :

1^2+2^2+...n^2= ((n(n+1)(2n+1))/6

j'ai cru avoir trouvé la bonne réponse mais ell s'avère être fausse ...

merci pour votre aide!

Bonjour
1)
la réponse tu l'as connais ; c'est la démonstration que tu ne sais pas faire
la formule est vraie pour les + petites valeurs de n ( =1)
Si Sn = 1²+2²+3²+ .....+(n-1)²+n² = n(n+1)(2n+1)/6  hyp.
alors démontrons que Sn+1 = (n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)/6 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6 thèse
en effet
Sn+1 = 1²+2²+3²+....+(n-1)²+n²+(n+1)² = Sn + (n+1)² = n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)² =
(n+1)[n(2n+1) + 6(n+1)]/6 = (n+1)(2n²+7n+6)/6 = (n+1)(n+2)(2n+3)/6
cqfd
2)1)
S5 = 0,2*0² + 0,2*0,2² + 0,2*0,4² + 0,2*0,6² + 0,2*0,8² = 0,2*(0 + 0,2² + ... + 0,8²) =
0,2*1,2 = 0,24
T5 = 0,2*0,2² + 0,2*0,4² + 0,2*0,6² + 0,2*0,8² + 0,2*1² = 0,2*(0,2² + ....+0,8²+1²) =
0,2*2,2 = 0,44
T5 - S5 = 0,2*1² = 1/5
La réponse exacte pour S = aire de E est 1/3 = 0,333333...
en notant que par exemple 0,8² = (0,2*4)² = {(n-1)/n}² tu peux poursuivre
A+

Merci boucoup ; j 'ai compris une bonne parti de mon exercice, maintenant je bloque sur la question 3)a .

j 'espère que quelqu 'un saura m'orienté pour cette quetion

merci

Rebonsoir
3)a)
pas de problème pourtant
Tn = 1/n[(1/n)²+(2/n)²+...+(n/n)²] d'après 2)2)b)  =>
Tn = 1/n³[1²+2²+3²+....+n²] = n(n+1)(2n+1)/6n³ = (n+1)(2n+1)/6n²  d'après 1) =>
Sn = Tn - 1/n = (n+1)(2n+1)/6n² - 1/n 2)2)c)  =>
Sn = [(n+1)(2n+1) - 6n]/6n² = (2n²+3n+1-6n)/6n² = (2n²-3n+1)/6n² = (n-1)(2n-1)/6n²
ainsi pour n=5 on a
S5 = 4.9/(6.25) = 6/25 = 0,24 : on retrouve le résultat du 2)1)
A+

OK merci beaucoup

A ses question j'ajoute les 4 dernières :

3°)b) Démontrer que la suite (Tn) converge Quelle est sa limite ?

c) Déduire su 2)c) ( calcule d'une aire ) que la suite ( Sn) converge . Qelle est sa limite ?

d) Conclure l'étude . Quelle est la valeur de S ?

4) Démontrer que (Sn) est une suite croissante et que (Tn) est une suite décroisante.

la 3e question m'est difficile a résoudre étant donné que je ne sait pas se qu ' est une suite convergante...

merci pour vitre aide !

Bonsoir
Intuitivement on voit bien que Sn croît , Tn décroît et que Sn etTn se rapprochent tous les 2 de S
Sinon il faut montrer que Sn+1 - Sn >0   et  Tn+1 - Tn < 0
la limite Sn quand n tend vers l'infini = lim (2n²-3n +1)/6n² = lim  (2n²/6n²)= 1/3 et
la limite Tn quand n tend vers l'infini = lim (2n²+3n +1)/6n² = lim  (2n²/6n²)= 1/3
A+