Supposons que (3x+4y) et (4x+5y) ne soient pas premiers entre eux.
Ils auraient donc au moins un diviseur premier commun p :
3x+4y = p.n
4x+5y = p.m
Système de 2 équations à deux inconnues x et y que l'on résoud. On trouve
:
x = p.(4m-5n)
y = p.(4n-3m)
donc p diviserait x et y, qui ainsi ne seraient pas premiers entre eux.

L'hypothèse faite au départ est fausse donc (3x+4y) et (4x+5y) sont premiers
entre eux