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Niveau terminale
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Problème suite

Posté par
Lululeloup
18-09-21 à 12:56

Bonjour à tous!
Je viens aujourd'hui avec un exercice en trois parties que je n'arrive pas à commencer…
L'énoncé est le suivant :

On considère la suite (un) définie par u0=0 et pour tout entier naturel n, un+1=un +3n -7.
On souhaite démontrer qu'une formule explicite pour cette suite est un = 3/2n2 - 17/2n pour tout n appartenant à l'ensemble N

Partie 1 :
Démontrer la formule précédente en utilisant un raisonnement par récurrence

Déjà ici je ne parvient pas à commencer la partie hérédité du raisonnement..

Merci d'avance pour votre aide

Lulu

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème suite 18-09-21 à 13:07

Bonjour,
tu as vérifié que la proposition était juste pour n=0 ?
Donc maintenant tu la supposes juste pour n et tu dois montrer qu'elle l'est encore pour n+1.
Donc pars de un+1 = un +3n -7
puis utilise ton hypothèse de récurrence pour remplacer un et arrange le résultat, il faut que tu montres que ça donne bien (3/2)(n+1)2 - (17/2)(n+1)
au besoin, redéveloppe ça pour montrer que ça donne bien la même chose.

Posté par
Lululeloup
re : Problème suite 18-09-21 à 13:11

Je suis pas sure d'avoir compris…dans  l'initiation je mets que j'ai vérifié pour u 0 et que la proposition est initialisé au rang 0 mais dnas l'hérédité je mets : supposons qu'il existe k tel que uk= la formule a vérifier ?

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème suite 18-09-21 à 13:37

oui

c'est pas exactement "supposons qu'il existe k " mais supposons la formule vraie pour k et montrons qu'elle est encore vraie pour k+1

Posté par
Tilk_11 Moderateur
re : Problème suite 18-09-21 à 13:39

Bonjour Lululeloup,
ton profil indique "Niveau 1ère" et tu postes en Terminale, quel est ton niveau exact ?

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau sujet ?

Posté par
Lululeloup
re : Problème suite 18-09-21 à 13:43

Mais comment je dois présenter cela concrètement ??
Et je suis en terminale j'avais juste oublier d'actualiser mon profil désolé

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème suite 18-09-21 à 22:50

mon premier post te donne toute la démarche, non ?

Posté par
Lululeloup
re : Problème suite 19-09-21 à 11:11

Je ne comprend pas vraiment …

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème suite 19-09-21 à 12:39

Donc reprenons :

- initialisation, on vérifie que la formule est vraie pour n=0.

effectivement u0=0 et la formule (3/2)n2 - (17/2)n donne bien 0 aussi pour n=0

- après on fait l'hypothèse que la formule est juste pour n.
Notre hypothèse de récurrence est donc que un=(3/2)n2 - (17/2)n

- on doit maintenant montrer que la formule est encore vérifiée pour n+1. On doit donc prouver que l'on a bien un+1=(3/2)(n+1)2 - (17/2)(n+1)

Pour cela on part de la définition de un+1 qui est
un+1 = un +3n -7

On utilise notre hypothèse de récurrence qui nous permet de remplacer un
on en déduit que un+1 = (3/2)n2 - (17/2)n +3n -7
Reste à montrer que c'est bien la même chose que (3/2)(n+1)2 - (17/2)(n+1)

Pour cela, le plus simple est de développer (3/2)(n+1)2 - (17/2)(n+1) et de comparer le résultat à ce que l'on a déjà trouvé pour un+1

A toi !
-

Posté par
Lululeloup
re : Problème suite 19-09-21 à 13:14

On trouve bien la même chose mais comme appelle t'on ceci « (3/2)(n+1)2 - (17/2)(n+1) » ?
J'ai donc écrit
Hérédité : supposons qu'il existe k tel que
Uk = (3/2)k2 -(17/2)k

On a alors Uk+1= Uk +3k -7
Que j'ai ensuite développé pour trouver ce que vous avez dit

Mais pour l'autre partie de la démonstration je ne sais pas comment appeler la partie à développer

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème suite 20-09-21 à 10:07

Je t'ai déjà dit que l'on ne disait pas "supposons qu'il existe k tel que"
mais supposons l'égalité vraie pour k.

Citation :
je ne sais pas comment appeler la partie à développer


pas besoin de l'appeler. il suffit d'expliquer comme je l'ai fait dans mon dernier post.

Posté par
Lululeloup
re : Problème suite 22-09-21 à 15:50

Ok c'est bon j'ai réussi. Dans la deuxième partie je suis bloqué à la question b je ne sais pas comment procéder :

On considère la suite auxiliaire (vn) telle que, pour tout n appartement a N, vn= un+1 - un

a) question déjà résolue

b) On considère, pour tout n appartenant à N, la somme Sn= v0+ v1+……+vn-1
Montrer que pour tout n appartenant à N : Sn= un-u0.

Je ne sais pas commencer procéder pour montrer cela

Posté par
Glapion Moderateur
re : Problème suite 23-09-21 à 10:27

Ecris Sn en remplaçant les vk par uk+1-uk, tu vas t'apercevoir que beaucoup de termes se simplifient.



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