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Problème sur des algorithmes.

Posté par
Lilo18
21-12-11 à 12:16

Bonjour,
J'ai cette exercice à faire, pouvez-vous m'aider ?


On considère pour n *, la somme Sn = ]k² ( de k=1 à n ).

1) Calculer S1, S2, S3 et S4.
S1=1 ; S2=5 ; S3=15 et S4=37.

2) On souhaite obtenir la valeur de Sn pour n'importe quel entier donné n.
Faire fonctionner à la main les algorithmes A et B pour n=4.
Répondent-ils à la question ? Si non, les modifier.

Algorithme A :
Variables : n, k, S entiers
Début : entrer n
        S prend la valeur 0
        Pour k allant de 1 à n
             Affecter à S la valeur S+k²
        Fin Pour
        Afficher S
Fin

Algorithme B :
Variables : n, k, S entiers
Début : entrer n
        S prend la valeur 0
        k prend la valeur 1
        Tant que k < n
            Affecter à S la valeur S+k²
            Affecter à k la valeur k+1
        Fin Tant que
        Afficher S
Fin

3) On choisie d'utiliser l'algorithme A, voici sa traduction en langage calculatrice.
Programmer la calculatrice et donner la valeur de S10, S20 et S100.

Prompt N
0 S
For (K,1,N)
S+K² S
End
Disp S

S10=385 ; S20=2870 ; S100=338350

4) On souhaite maintenant obtenir tous les termes de la suite (Sn) de rang inférieur à un entier n donné. Modifier l'algorithme de votre choix de façon à résoudre ce problème.
Le programmer et donner les dix premières valeurs de la suite de S1 à S10.

5) Démontrer par récurrence que, pour tout entier n *, k² ( de k=1 à n ) = [n (n+1)(2n+1)]/6.

6) Justifier la valeur de S100 obtenue à la question 3.

Merci d'avance

Posté par
Asap
re : Problème sur des algorithmes. 21-12-11 à 14:30

Bonjour,

Les deux algo sont corrects mais il faut légerement modifier le B qui effectue la somme de 1 à (n-1), 2 possibilités pour arranger ça :
  - Tant que k n
  - Tant que k < (n+1)

Pour la question 4, il suffit de déplacer l'instruction "Afficher S", en effet dans l'algo A on affiche la somme seulement à la fin. Si on change l'algo comme ceci :

Variables : n, k, S entiers
Début : entrer n
        S prend la valeur 0
        Pour k allant de 1 à n
             Affecter à S la valeur S+k²
             Afficher S
        Fin Pour
Fin

On affichera bien S1,S2,...,Sn

5) Pour k=1 , S1 = 1 et [1(1+1)(2*1+1)]/6 = (1*2*3)/6 = 6/6 = 1, donc l'initialisation est vraie.
Supposons \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} montrons qu'alors \sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6},
\sum_{k=1}^{n+1} k^2 = \sum_{k=1}^n k^2 + (n+1)^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6} = \frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}

Or n(2n+1)+6(n+1) = 2n^2+n+6n+6 = 2n^2+7n+6

et (n+2)(2(n+1)+1) = (n+2)(2n+3) = 2n^2+3n+4n+6 = 2n^2+7n+6

DONC \frac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6} =  \frac{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}

6)S_{100} = \frac{100\times101\times201}{6} = 338350

Voila

Posté par
Lilo18
re : Problème sur des algorithmes. 21-12-11 à 14:32

Je viens de me rendre compte que j'ai fais une erreur de calcule dès la première question ( ça commence bien ! )

1) J'obtiens donc :
S1=1 ; S2=5 ; S3=15 et S4=30.
Est-ce juste cette fois ?

2) Algorithme A : ( pour n=4 )
On a, S=0 et, pour k allant de 1 à 4, S=S+k².
Pour k=1 : S=1 ; Pour k=2 : S=5 ; Pour k=3 : S=15 et pour k=4 : S=30.

On obtient bien la valeur de Sn au final, donc cet algorithme répond bien à la question.

Algorithme B : ( pour n=4 )
On a, S=0 et k=1 < 4,
Donc, on calcule,
S = 0 + 1² = 1 et k = 2 < 4
Donc, on calcule de nouveau,
S = 1 + 2² = 5 et k = 3 < 4
Donc, on calcule de nouveau,
S = 5 + 3² = 14 et k=4

Cette fois, on n'obtient pas la valeur de Sn, donc l'algorithme ne répond pas à la question. Pour qu'il y réponde, il faudrait le modifier de cette façon :
Variables : n, k, S entiers
Début : entrer n
        S prend la valeur 0
        k prend la valeur 1
        Tant que k 4
             [ ... ]

Est-ce juste ?

Posté par
Asap
re : Problème sur des algorithmes. 21-12-11 à 14:43

Pourquoi "k4" , "kn" tout simplement

Posté par
Asap
re : Problème sur des algorithmes. 21-12-11 à 14:45

Et S1=1, S2=1+4=5, S3=5+9=14, S4 =14+25=39

Posté par
Lilo18
re : Problème sur des algorithmes. 22-12-11 à 12:19

Bonjour,

Encore une erreur de frappe, je pensais bien à k n ( et non 4 comme je l'ai écris ).
Merci beaucoup pour tout le reste !

Posté par
Asap
re : Problème sur des algorithmes. 22-12-11 à 12:20



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