Bonsoir, je solicite votre aide pour une Problème dont je n'arrive pas à saisir le sens de certaines question. EN fait je ne sais pas comment partir sur ces questions car je ne les comprends pas Voici donc l'énoncé (les questions en gras sont celles qui me posent problème):

On pose A = {a+ib/(a,b)Z²}

1) Justifier que A muni de l'addition et de la multiplication usuelles est un sous anneau de C. On appelle A l'anneau des entiers de Gauss
Pour x = a + ib A, on pose N(x) = a²+ b²N

2) Vérifier que (x,y)A², N(xy) = N(x)N(y)

3) On rappelle qu'un élément est inversible dans un anneau s'il est inversible pour la loi x. Montrer en utilisant 2) que :
x inversible => N(x) = 1
En déduire que A ne possède que quatre éléments inversibles que l'on précisera.

Ces 3 premières questions ne m'ont pas posée beaucoup de problème.

Soit (x,y)A², y non nul. On pose x/y = u + iv  avec (u,v)Q²

4) Justifier l'existence du couple (u,v) Préciser sa valeur quand  x = 1 + 3i   y = 2 - i (OK)
Réponse : (-1/3 ; 7/3)

5)Justifier l'éxistence de deux entier relatif u₀ v₀ tels que :
|u - u₀|1/2
|v - v₀|1/2
(Ok): uo et vo sont respectivement les parties entière de u et v
Y-a-t'il toujours unicité de ces deux entiers ? (Justifier la réponse)

6) Montrer que l'on a x = y(u0 +ivo) + r   avec rA et  N(r) < N(y)
On a ainsi réalisé une division euclidienne dans A

7) Soit I un idéal de A non réduit à {0}
Justifier l'existence d'un élement aI tel que N(a) = min {N(x) / xI, x0}

8) En utilisant la question 6), montrer par double inclusion que I = {ax / xA}

9) Justifier que I est le pluys petit idéal qui contient a

J'ai donc quelques problème à problèmes à partir de la question 4). Pour les questions 6) à 9) je ne comprend pas du tout.

Merci d'avance pour votre aide.

Cordialement,
n4rU