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Problème sur la récurrence

Posté par
matlop
12-09-21 à 13:08

Bonjour, j'ai un problème de maths sur la récurrence dans lequel j'ai conjecturé que la somme des angles d'un polygone n à n côtés en fonction de n est de (n-2)*180
Je dois maintenant démonter cela par récurrence. J'ai donc fait:
Initialisation: P(3) est vraie puisuqe c'est le cas du triangle
Hérédité: On suppose que la propriété est vrai au rang k, et on doit alors démonter qu'elle est vraie au rang k+1
C'est ici que je bloque car je ne sais pas comment m'y prendre.
Est-il possible de m'aider s'il vous plaît ?

Posté par
Julien83340
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 13:37

Bonjour matlop,

Si j'ai bien compris, tu ne sais pas comment t'y prendre avec la récurrence.
Il faut commencer par se représenter ce à quoi pourrait ressembler un polygone à k+1 angles, et comment est ce que tu pourrais utiliser ta supposition (te ramener à un polygone à k angles).
Essaie de dessiner ton polygone avec des petites valeurs de k pour essayer de comprendre comment tu pourrais te ramener à ton hypothèse...

Si tu as encore du mal, je serai ravi de t'aider un peu plus...

Posté par
matlop
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 13:47

Merci de votre réponse
Mais je ne sais toujours pas quoi faire
Comment je dois faire pour démontrer qu'elle est vraie au rang k+1, quels calculs faire?

Posté par
Julien83340
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 13:59

Il faut que tu prennes un polygone à k+1 angles et que tu y découpes un triangle.
(je joins un dessin que j'ai fait sur Paint)

À partir de cela, tu peux dire que tu as un polygone à k angles et un triangle, alors tu sommes la valeur des angles.
D'après ton hypothèse de récurrence : P(k)=180.(k-2)
Tu ajoutes la somme des angles d'un triangle. (180°)
Tu as donc :
P(k+1)=180.(k-2)+180

Tu devrais pouvoir conclure rapidement.

Problème sur la récurrence

Posté par
malou Webmaster
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 14:07

en voilà un qui a joué avec plusieurs comptes....
pas futé

Posté par
Julien83340
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 14:13

Comment ça ?

Posté par
malou Webmaster
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 14:17

il a ouvert plusieurs comptes ce qui est interdit et le site l'a banni...donc il s'est désinscrit
mais il a rouvert un nouveau compte, il devrait réapparaître sous un autre pseudo...attendons...

Posté par
rb1999
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 14:22

Bonjour, Fait-il calculer 180*(k+1-2)+180 ou juste 180*(k-2)+180?

Posté par
rb1999
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 14:25

je n?avais tout simplement pas reussi à récupérer mon ancien compte de seconde, j?ai tout simplement emprunté l?email de ma mère pour essayer de trouver de l?aide pour mon devoir. Je suis désolée si ça vous dérange mais je voudrais vraiment réussir

malou edit> ** vu ** retour aux maths maintenant **

Posté par
Julien83340
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 14:34

Tu mets juste en forme l'équation précédente pour bien comprendre que tu as démontré ton hérédité :

P(k+1)=180.(k-2)+180
 \\ P(k+1)=180.(k-2+1)
 \\ P(k+1)=180.\left[ (k+1)-2\right]

Posté par
rb1999
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 14:38

il est passé où le +180 de la première ligne? C'zst devenu le +1? si oui pourquoi ?

Posté par
Julien83340
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 15:40

C'est une simple factorisation, il est devenu +1

Posté par
rb1999
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 15:46

Après avoir écrit tout ça donc:
P(k+1)=180*(k-2)+180
               =180*(k-2+1)
               =180[(k+1)-2]
               =180*(k-2)
Je conclue en disant que la propriété a été initialisée et est héréditaire et qu'elle est donc vraie?

Posté par
Julien83340
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 15:57

La dernière ligne n'est pas bonne et l'avant-dernière est suffisante.

Une fois que tu as écrit l'avant-dernière ligne, tu peux écrire que ta propriété a été vérifiée pour k+1, avec k vraie donc la propriété est bien héréditaire.



Tu n'as plus qu'à conclure.

Posté par
rb1999
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 16:52

la dernière ligne est donc:
180*(-k-1)??
si c'est cela ça veut dire qu'elle n'est pas héréditaire puisque j'étais censée trouver             180*(k-2)

Posté par
Julien83340
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 17:01

Non, tu es sensé montrer que c'est vrai pour k+1 donc que
P(k+1)=180.\left[ (k+1)-2\right]

Posté par
Julien83340
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 17:02

C'est ce qu'on vient de faire

Posté par
rb1999
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 17:25

donc je m'arrête à la ligne:

Problème sur la récurrence

Posté par
rb1999
re : Problème sur la récurrence 12-09-21 à 17:26

?*



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