Bonjour,

Je suppose qu'il y a une coquille et qu'il faut lire xRy ssi (x = y ou y = h(x))

Dans ce cas,
xRx car x = x : réflexivité
Pour la symétrie, on suppose xRy et on doit prouver yRx.
Autrement dit  il faut prouver que (y = x ou y = h(x)) (x = y ou x = h(y))
- Si y = x, alors x = y bien sûr, donc dans ce cas yRx
- Mais si y = h(x) ?

oui corrige comme le dit frenicle ensuite tu utilise que les classes sont disjointes ...

Hmm ... oui effectivement j'ai mal recopié, c'est xRy ssi (x=y ou y = h(x))

- xRx car x=x
- xRy :
x=y dans ce cas yRx
ou y=h(x) soit h(y) = h(h(x))= x puisque h est involutive donnc yRx
- xRy et yRz :
x=y et y=z --> x=z donc xRz
ou y=h(x) et z=h(y)=h(h(x))=x donc xRz

Est-ce que maintenant c'est bon ?

Et pour la suite de l'exercice je ne comprends pas ce qu'il faut faire... Je ne comprends pas bien ce qu'est une classe d'équivalence...
Merci pour votre aide.

Pour la question b, est-ce que ça suffit :
si xE, C(x) = ( yE / yRx )
équivaut à C(x) = ( yE / y=x ou y=h(x) )
On a donc C(x) = y et yRx --> C(x) = x ou C(x) = h(x)
Donc le cardinal d'une classe d'équivalence est 1 ou 2.

Pour la symétrie, ça va.
Pour la transitivité, il faut être plus rigoureux, tu oublie des cas :

Si xRy et yRz, on peut avoir

1) y = x et z = y
2) y = h(x) et z = h(y)
(tu as traité ces deux cas.)

mais aussi

3) y = x et z = h(y)
4) y = h(x) et z = y
(tu n'as pas envisagé ces deux cas.)

Pour la b), oui, le cardinal de C(x) est 1 ou 2 selon que h(x) = x ou h(x) x.
Mais tes notations ne sont pas correctes.
Un ensemble, comme C(x), se note entre accolades {}, pas entre parenthèses ().
Ensuite si tu désignes la classe d'équivalence de x par C(x), tu ne peux pas écrire ensuite C(x) = x, ou C(x) = h(x).
x et {x} sont des objets différents.

Une rédaction meilleure serait d'écrire que C(x) = {x, h(x)} qui est un ensemble à 1 élément si x = h(x) et à 2 éléments si x h(x).

Pour la suite, tu as donc un ensemble à p éléments (p impair), et une partition de cet ensemble en sous-ensembles disjoints (les classes d'équivalences) comportant chacun 1 ou 2 éléments.
Au moins un de ces sous-ensemble est à 1 élément (pourquoi ?)
Cela veut dire que h a au moins un point fixe (pourquoi ?)

oups : tu oublies des cas

Je pardonne ton erreur d'orthographe (que je n'avais d'ailleurs pas du tout remarqué !).

Alors pour la 1.a j'ai complété ma réponse.

Pour la suite si je considère que chacune des classes possèdent 1 ou 2 éléments et que celles-ci forment une partition de E.
On a somme des cardinaux des classes = cardinal de E c'est ça ? et donc on aurait au moins une classe à 1 élément car Card(E) = p est impair, ai-je bien compris ?

Pour la suite je dois encore y réfléchir, mais merci pour ton aide.
Et j'aimerais encore une précision : est-ce que les classes d'équivalence forment par définition une partition de E ? Je n'avais pas compris cela. Merci.

Alors pour la suite de la question 1.b. : le cardinal d'une des classes est égal à 1 signifie qu'il existe x tel que x=h(x) c'est-à-dire qu'il existe au moins un élément de h qui est fixe. Est-ce correct ?

Pas "par définition", mais il est vrai que les classes d'équivalence pour une relation d'équivalence définie sur un ensemble E forment toujours une partition de E.
Et réciproquement, à toute partition de E on peut associer une relation d'équivalence sur E dont les classes d'équivalence constituent précisément la partition donnée.
Je te laisse trouver comment définir cette relation d'équivalence.

Autrement dit, se donner une relation d'équivalence sur E c'est la même chose que se donner une partition de E.

Je répondais bien sûr à ton post de 13h38.
Pour celui de 17h20, oui c'est correct.

Ok merci beaucoup.

Je continue mon exercice :

2. On suppose qu'il existe une application f de dans qui vérifie :
Pour tout n , f(f(n)) = n + 2011

a) Montrer que pour tout n , f(n+2011) = f(n) + 2011.
Puis il faut en déduire que pour tout n et pour tout k , f(n+2011k)=f(n) + 2011k.

Je cherche pour l'instant sans succès mais je continue.

Oui, cherche un peu, ce n'est pas très compliqué...

Je crois que j'ai trouvé la première partie :

on a f(f(n)) = n + 2011
f(f(f(n))) = f(n+2011)
f(n) + 2011 = f(n+2011)

Correct ?

Oui bien sûr.

Ok.
Pour la suite je suppose que c'est une bonne vieille récurrence je m'y suis mis.

Tu supposes bien...

Bon courage pour la suite

Oui merci beaucoup pour ton aide.
J'ai réussi à faire la récurrence.
Je continue mon problème et si je bloque je te fais signe ok ?
Merci

Re.

J'ai du mal à comprendre la suite de mon exo...
Est-ce que tu pourrais (ou quelqu'un d'autre) continuer à m'aider ?

Voici mon problème :
Après avoir supposer l'existence de f : -->
vérifiant pour tout n entier naturel, f(f(n)) = n + 2011
et après avoir montrer que pour tout n et k entiers naturels, f(n+2011k) = f(n) + 2011k en particulier pour k=1, on a f(n+2011) = f(n) + 2011
On considère à présent l'application g [[0;2010]] (entiers) --> [[0;2010]] (entiers) , n --> g(n) reste de la division euclidienne de f(n) par 2011.

1ère question : Montrer que g(g(n)) = Id _[[0;2010]]

2ème question : Prouver qu'il existe a [[0;2010]] et k tels que f(a) = a + 2011k.
Montrer que l'égalité f(f(a)) = a + 2011 conduit à une contradiction.
Que peut-on conclure ?

Déjà je n'arrive pas à me représenter clairement ce qu'est g(n)...
si j'écris la division euclidienne de f(n) par 2011 pour moi cela signifie :
f(n) = 2011q + r avec r = g(n)
on trouverait alors : g(n) = f(n) - 2011q
et après j'effectue la division euclidienne de g(n) par 2011 c'est bien ça que veut dir g(g(n)) ??
donc j'aurais : g(n) = 2011q' + r' avec r' = g(g(n))
soit g(g(n)) = g(n) - 2011q'
= f(n) - 2011q - 2011q'
= f(n) - 2011(q+q')

Mais après je suis coincé, est-ce que quelqu'un peut m'aider svp.
Merci beaucoup.

Bonsoir,
Traitant un sujet similaire, j'aimerais savoir de quelle manière tu as montré par récurrence que f(n+2011k)=f(n)+2011k
Je tourne en rond car dans mon cas en partant de f(n)+2011(k+1)=f(n+2011)+2011k mais je n'arrive pas à rentrer ce 2011k dans ma parenthèse, peut être que je pars pas de la bonne hypothèse ?
Merci de répondre speedy J
Salutations

Salut Hugo67,

Pas de soucis pour la récurrence je pars de f(n+2011(k+1)) que je transforme pour arriver à f(n) + 2011(k+1).
Est-ce que tu aurais par hasard réussi la suite de l'exercice avec la fonction g. Car je bloque toujours.
Si tu as besoin de précision fais moi signe

J'ai prouvé que g(g(n)) = Id _[[0;2010]]

Maintenant je cherche toujours et encore la 2ème question...
Est-ce qu'on doit chercher un a particulier ??
Aidez moi svp.

Je pense avoir une piste :

f(a) = 2011k + g(a)
g(a) = f(a) - 2011k
g(g(a)) = g(f(a) - 2011k) = a

Est-ce qu'on peut aboutir à quelque chose avec ce début de calcul ?
Faut-il prendre le reste de la division euclidienne de f(a) - 2011k par 2011 ? on aurait g(g(a)) = f(a) non ? ...
Hmmm je tourne en rond et je ne trouve pas...
Aidez moi svp.

salut,
je ne peut pas vraiment t'aider pour la suite car je suis dans le même cas que toi...
D'ailleurs je bloque à la simple récurrence... je n'arrive pas au bout...
Pourrais tu éclaircir quant aux étapes de la démonstration ?
Merci d'avance et bonne chance, si j'avance pour le reste je te tiens au jus

Pour la deuxième partie de la récurrence, voici les égalités que j'ai trouvé :

Pour tout n entier naturel,
f(n + 2011(k+1))
= f(n + 2011k + 2011)
= f(f(f(n + 2011k)))
= f(n + 2011k) + 2011
= f(n) + 2011k + 2011
= f(n) + 2011 (k+1)

Si tu trouves des résultats pour la question 2. Fais moi signe stp