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Problème sur les suites
Bonjour, j'ai un problème sur les suites.
Mr Dufisc a en 1997 un revenu de 18000 euros -> r(n)
r(0) = 18000
Paye comme impot 1600 euros --> i(n)
i(0) = 1600
Revenu après import = 16400 --> u(n)
u(0) = 16400
On considère que chapque année, le revenu augmente de 2% et l'impot correspondant de 3%.
Au début il me demande de calculer r(1), i(1), u(1) et pareil avec r(2) etc... ça c'est facile.
Puis après sachant que :
R(n) = 18000 * (1.02)n et que I(n) = 1600 * (1.03)n.
Demontrer que U(n+1) - U(n) = 360 * (1.02)n -48 * (1.03)n.
Je ne sais pax coment faire ? mercid em'aider 
salut
bin le revenu aoprès impots c bien un=rn-in
donc tu calcules un=.....en fct de n
et donc tu en déduis un+1-un
bonne chance
Salut Nabnut
On a :
U(n+1)=R(n+1)-I(n+1)
=18000 * (1.02)n+1 - 1600 * (1.03)n+1
et
U(n)=R(n)-I(n)
=18000 * (1.02)n - 1600 * (1.03)n
Donc
U(n+1)-U(n)=[18000 * (1.02)n+1 - 1600 * (1.03)n+1] - [18000 * (1.02)n - 1600 * (1.03)n]
= 18000 * (1.02)n (1.02-1) - 1600 * (1.03)n (1.03-1)
= 360 * (1.02)n - 48 * (1.03)n
A+ 
ben
U(n) = 18000 - 1600
U(n+1) = 18000*(1.02)n - 1600*(1.03)n
Mais ensuite...
bonjour,
R(1)=R(0)+2R(0)/100 = (1,02)R(0)
I(1)=I(0)+3I(0)/100 = (1,03)I(0)
de m^me :
R(2)=R(1)+2R(1)/100 = (1,02)R(1)=(1,02)²R(0)
I(2)=I(1)+3I(1)/100 = (1,03)I(1)=(1,03)²I(0)
de même
R(n)=(1,02)^n.R(0)=18000(1,02)^n
et
I(n)=(1,03)^n.I(0)=1600(1,03)^n
d'où
U(n)=R(n)-I(n)= 18000(1,02)^n - 1600(1,03)^n
et U(n+1)-U(n) = 18000(1,02)^(n+1) - 1600(1,03)^(n+1) - (18000(1,02)^n - 1600(1,03)^n)
U(n+1)-U(n) = 18000( (1,02)^(n+1) - (1,02)^n ) - 1600( (1,03)^(n+1) - (1,03)^n )
U(n+1)-U(n) = 18000*(1,02)^n( (1,02) - 1 ) - 1600*(1,03)^n( (1,03) - 1 )
U(n+1)-U(n) = 3600*(1,02)^n - 480*(1,03)^n
Philoux
Je vous savoir aussi, après il demande :
pour quelles valeurs de n a t-on u(n+1) < u(n) ?
comment faire ?
non, j'ai pas vu les logarithmes ! j'espere qu'on peut le faire sans car sinon, ma prof est barge lol
pour quelles valeurs de n a t-on u(n+1) < u(n) ?
On va regarder la différence, et son signe :
U(n+1)-U(n) = 360 * (1.02)n - 48 * (1.03)n
On veut que cette expression soit strictement négative, donc :
360 * (1.02)n - 48 * (1.03)n < 0
<=> 360 * (1.02)n < 48 * (1.03)n
<=>(360/48) < (1.03/1.02)n
<=>(15/2) < (1.03/1.02)n
<=>ln(15/2) < n*ln(1.03/1.02) (on garde l'equivalence car ln est bijectif)
<=>n > (ln(15/2)) / (ln(1.03/1.02)) = 206.525921.....
<=>n > 207, car n est un entier
Re
3600*(1,02)^n - 480*(1,03)^n < 0
(103/102)^n > 3600/480
(103/102)^n > 7,5
comme 103/102=1,... >1 tu essaies différentes valeurs de n pour voir que
(103/102)^206 = 7,46
et
(103/102)^207 = 7,53
tu déduis que 207 ans convient
Philoux
Mouarf! tu as pas vu le logarithme!
Ben... comment faire... Tu fais comme si tu les avait vu 
Sinon tu répond que U(n+1) < U(n), pour tout n vérifiant la condition : (15/2) < (1.03/1.02)n, puisque sans le ln, je sais pas trop comment tu peux conclure autrement...
looool la ruse à Philoux
Mais il a raison, ca marche parfaitement! Bien pensé
salut nicoooo
c'est pas une ruse : il faut faire comme cela si ils n'o,t pas vu les ln en ayant remarqué que 103/102 est plus grand que 1
Philoux
elle est trop laide ma prof, bon c'est pas nouveau mais sa se confirme, merci pour les explications
J'espere que c'est le bon exo que je fais, lol ...
re !
A la suite de l'exercice, il me demande : " si l'évolution se poursuit, Mr Dufisc verra t-il son revenu après impot dminuer ? "
--> La réponse est bien sur NON, mais comment le prouver ?
Ensuite,il faut vérifier que U(n) = (1.03)n [18000* (1.02/1.03)n - 1600]
Comment faire ? merci de m'aider
Je sais que U(n) = 18000*(1.02)n - 1600*(1.03)n
Mais comment passer à l'expresison qu'il veule ?
C'est immédiat:
U(n) = 18000*(1.02)^n - 1600*(1.03)^n
U(n) = [(1,03^n)/(1,03^n)].18000*(1.02)^n - 1600*(1.03)^n
U(n) = (1,03^n).18000*(1,02/1,03)^n - 1600*(1.03)^n
U(n) = (1,03^n).[18000*(1,02/1,03)^n - 1600]
Merci
Après il me demande la limite de la suite U, mais je ne sais pas comment étudier la limite d'une suite...
Quelqu'un sait-il comment calculer la limite de U ?
U(n) = (1.03)n [18000* (1.02/1.03)n - 1600]
Mais où est donc la difficulté ?
C'est immédiat.
lim(n->oo) (1,03^n).[18000*(1,02/1,03)^n - 1600]
= lim(n->oo) (1,03^n).[0 - 1600]
= oo.(-1600)
= -oo
-----
Sauf distraction.
Dsl mais je n'ai pa très bien compris... 
le signe oo = l'infini?
Que signifie le point. entre (1.03)^n et [18000*...]
Le "." est le signe de la multiplication, il est équivalent à * et aussi au plus traditionnel X (fois).
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