Salut j'ai un exo :  
f(x) = (2x+1)/(x+1)
Un+1 = f(Un) U0 = 1
Vn+1 = f(Vn) V0 = 2

J'ai démontré que :
-Pour tout entier n, 1 =< Vn =< 2
- Vn+1 =< Vn
- Un =< Un+1
- Vn+1 - Un+1 = (Vn-Un)/[(Vn+1)(Un+1)]

Là ils me demandent : déduire que pour tout entier n, Vn - Un >= 0 et Vn+1 - Un+1 =< 1/4(Vn-Un) et Vn - Un =< (1/4)^n

Merci de m'aider

*** message déplacé ***

salut
je pense que pour Vn-Un>0 une petite démo par récurrence me semblerait bien
ensuite peut être étudier le signe de Vn+1 - Un+1 -1/4(Vn-Un) et montrer que c'est <0
et enfin une démo par récurrence pour Vn - Un =< (1/4)^n
voilà les pistes que j'explorerai à ta place
bye

Alors V0 - U0 = 1 > 0

Supposons Vn - Un >= 0, cela entraine

2Vn - 2Un >= 0

Mais après je vois pas :|

Parce qu'ils mettent : "en déduire"

oui mais bon 2Un-2Vn>0 ça mène pas à grand chose.....
par contre occupe toi ed Vn+1 - Un+1 et trouves son signe

C'est du signe de Vn - Un

certes car les suites Un et Vn sont positives et donc Un+1 et Vn+1 sont positif
donc quel est le signe de Vn-Un?

Or on sait que 1 =< Vn =< 2
et Un aussi donc Vn - Un >= 0

et donc Vn+1-Un+1 est de quel signe ?
et donc ta récurrence est finie

Donc de signe +

yeah baby yeah !!
ça c'est fait.....!

Je suis en train de faire l'autre

ok ....

Donc j'ai fais Vn+1 - Un+1 - (1/4(Vn-Un)) =< 0
Je mets au même dénominateur mais ça fait un truc de barbare

(4Vn - 4Un - (Vn - Un)[(Vn+1)(Un+1)])/(4(Vn+1)(Un+1))

et tu peux mettre Vn-Un en facteur....

Moi je dirais : comme (Vn - Un)[(Vn+1)(Un+1) > 4Vn - 4Un bah le numérateur est négatif, par conséquent la fraction l'est aussi

ah et pourquoi ça ?
comme (Vn - Un)[(Vn+1)(Un+1) > 4Vn - 4Un

Bon OK c'est pas ça

Sinon ça fait :

(4(Vn-Un)-[Vn-Un)((Vn+1)(Un+1))] /  4(Vn+1)(Un+1)

On peut simplifier je pense par (Vn+1)(Un+1) en haut et en bas ce qui fait :

(Vn-Un)-(Vn-Un) = 0

non tu t'es gourré
tu ne peux pas simplifier .....pas encore
factorises totalement (Vn-Un)(.....???...)

Je vois pas

Faut remplacer Un+1 par 2Un+1/Un+1 ?

tu arrives à ça 4(Vn-Un)-[(Vn-Un)((Vn+1)(Un+1))] /  4(Vn+1)(Un+1)
donc factorises (Vn-Un)(4-1/....)

Je vois pas du tout

Ca peut pas être (Vn-Un)(4-1/qqch) puisqu'il y a (Vn+1)(Un+1) à factoriser

oui pardon c'est (Vn-Un)(4-qqchose)/(Vn+1.Un+1) et donc toi je te rappelle que tu cherches le signe de tout ça .....

Je vois pas le "qqchose" peut-être la fatigue mais là j'ai fais des maths toute la journée j'en peux plus

qqchose =Un+1.vn+1
...