Salut et bienvenue,


il faut que tu montres que (i-u)²=i-u.

Prenons x dans E,que vaut (i-u)o(i-u)(x)=(i-u)(x-u(x)) je te laisse continuer.

Merci de m'avoir répondu si vite, et cela m'a beaucoup aidé.
Pouvez vous me dire si c'est bon, surtout la fin car je ne sais pas si j'ai droit de faire ce que je fais:
(i-u)o(i-u)(x)
=(i-u)o(i(x)-u(x))
=(i-u)o(x-u(x))
=(i-u)(x)-(i-u)(u(x))
=i(x)-u(x)-i(u(x))+u(u(x))
=i(x-u(x))-u(x-u(x))
=i(X)-u(X) (Ai-je le droit de faire ça ?)
=i-u.

Disons que c'est pas bien rédigé,i(X)-u(X)=i-u ca n'a pas de sens.

Pour montrer que deux applications coincident(ici (i-u)²=i-u)il suffit de vérifier que pour tout x dans E on a:

(i-u)²(x)=(i-u)(x).

Maintenant (i-u)²(x)=(i-u)((i-u)(x))=(i-u)(x-u(x))=i(x-u(x))-u(x-u(x)),utilise maintenant que i(x)=x et u(u(x))=u(x) pour arriver à (i-u)(x)=x-u(x).

Pour montrer que Im(u)=Ker(i-u)={x E\u(x)=x}
Est ce que je peux dire:
  Ker(i-u)={x E\ (i-u)(x)=0}
=>Ker(i-u)={x E\ i(x)-u(x)=0}
=>Ker(i-u)={x E\ x=u(x)}

Et:
Im(u)={x E\ u(x)=x} directement ??

Merci d'avance.

Je comprends pas pourquoi u(u(x))=u(x) pour moi u(u(x))=u²(x)..

Chaque chose en son temps

Tu as finis de rédiger comme je t'ai indiqué dans mon dernier message?

Car on a supposé par hypothèse que u²=u ce qui signifie que pour tout x ,u²(x)=u(x) ou encore u(u(x))=u(x).

Ah oui c'est vrai! merci
Oui je pense que j'ai bien rédigé maintenant:
i(x-u(x))-u(x-u(x))
=x-u(x)-u(x)-u²(x)
=x-2u(x)-u(x)
=x-u(x).

J'oubliais:
x-u(x)
=i(x)-u(x)
=(i-u)(x)

Tu as fait une petite erreur de signe,

-u(x-u(x))=-u(x)+u²(x) donc on trouve ce qu'il faut.

Maintenant tu dois montrer que Ker(i-u)=Im(u).

Tu peux le faire par double inclusion.

Oui, j'ai mal recopié mon brouillon.
merci beaucoup.

Pour montrer que Im(u)=Ker(i-u)={x  E\u(x)=x}
Est ce que je peux dire:
  Ker(i-u)={x E\ (i-u)(x)=0}
=>Ker(i-u)={x E\ i(x)-u(x)=0}
=>Ker(i-u)={x E\ x=u(x)}

Et:
Im(u)={x  E\ u(x)=x} directement ??



C'est tout faux ?

C'est pas tout faux mais le Im(u)={x tel que u(x)=x} c'est justement ce qu'on veut montrer ici,ce n'est pas la définition de Im(u) dans le cas général,ca marche ici.

Si tu prends x dans Im(u) alors montre que (i-u)(x)=0.

Je ne vois pas trop comment il faut faire
J'ai dit:
x Im(u)<=>u(x)=y
Je sais pas trop quoi dire de plus à part u²(x)=y mais ca ne sert à rien.
J'ai donc cherché (i-u)(x):
(i-u)(x)=x-u(x)=x-y

J'ai envie de montrer que   Ker(i-u)={x E\ (i-u)(x)=0}
=>Ker(i-u)={x  E\ i(x)-u(x)=0}
=>Ker(i-u)={x  E\ x=u(x)}.

Et donc à partir de cela je pourrai en déduire que (i-u)(x)=x-u(x)=x-y=0<=>x=y.
  Donc Im(u)<=>u(x)=x.

Mais bon, c'est pas ça que vous m'avez dit de montrer, mais je ne vois pas comment faire.

Déja x est dans Im(u) s'il existe y tel que u(y)=x et pas u(x)=y.

(i-u)(x)=(i-u)(u(y)) donc ...

J'y vais quelqu'un prendra le relais

Merci c'est vrai que ça va mieux comme ça..
Donc
(i-u)(x)=(i-u)(u(y))
=u(y)-u²(y)
=u(y)-u(y)
=0
=>x appartient à Ker(i-u)
Donc ker(i-u) C Im(u) (j'espère que c'est bien dans ce sens)

Pour l'autre sens de l'inclusion:
x appartient à Ker(i-u), je dois montrer que x appartient à Im(u) soit que u(x)=x
(i-u)(x)=0
=>x-u(x)=0
=>x=u(x)
Donc x appartient à Im(u)
Donc Im(u) C Ker(i-u)

Conclusion: Im(u)=Ker(i-u)={u(x)=x}

C'est bon ??

Bonsoir j'ai regardé vite fait je suis ok pour le raisonnement mais A MON SENS les conclusions sont mal transcrites:
Je te cite:

->Donc ker(i-u) C Im(u) (j'espère que c'est bien dans ce sens)
eh non c'est l'autre tu es parti de x dans Imu et tu as montré qu'il était dans ker....


->Donc Im(u) C Ker(i-u)

même remarque c'est l'inclusion inverse

Pour montrer que Im(u)+ (entouré)Ker(u)=E, j'ai d'abord cherché à montrer que l'intersection de Im(u) et Ker(u) est nulle:
c'est-à-dire u(y)=x et u(x)=0
=>u(u(y))=0<=>u²(y)=0<=>u(y)=0<=>x=0
Donc l'intersection est bien nulle.

Je dois ensuite montrer que Im(u)+Ker(u)=E
J'ai essayé de le montrer grâce à la formule dim(Im(u))+dim(Ker(u))=dimE

On sait que u est un endomorphisme de E (espace vectoriel) et que u²=u donc dimE=2 (mais j'suis pas sûre de pouvoir faire cela).

On sait que Rg(u)=dim(Im(u))
Or Rg(u) pout moi vaut 2 car (u²=u)
et dim(ker(u))=dim(u(x)=0)=0

Or 2+0=2
donc dim(Im(u))+dim(Ker(u))=dimE
donc Im(u)+Ker(u)=E

Ca me parait bizarre.. pouvez vous m'aider encore un petit peu svp ?

j'oubliais.. merci beaucoup de m'avoir corrigé un1

Bonsoir
je n'ai pas lu avec attention ce que tu as écrit mais ça ne me semble pas juste
tu parles de dimension alors qu'on ne sait même pas si E est de dimension finie
et puis tu trouves dimE=2 ceci voudrait dire que les projecteur n'existe qu'en dimension deux...

Bref tu montres que l'intersection est réduite à {0}
moi je dirais soit x appartenant à l'intersection
d'après ce que tu as montré précédemment u(x)=x et par notre hypothèse u(x)=0 on a tout de suite ce qu'on vt sans passser par y....

pour l'existence d'une telle écriture:
on a: soit x appartenant à E x =(Id-u)(x)+u(x)
en vertu de ce qui précède ker(u)=Im(Id-u) d'où l'on tire ce que l'on veut après un ptite vérification

De rien pour la correction de ton précédent post!

Tout ce que j'ai dit sauf erreur (et je m'en excuse déjà)

projecteurs n'existent

"x =(Id-u)(x)+u(x)
en vertu de ce qui précède ker(u)=Im(Id-u)"
Je comprends pas comment vous en déduisez que x =(Id-u)(x)+u(x)

Enfin je veux dire que je suis d'accord avec vous en simplifiant je vois bien que x =(Id-u)(x)+u(x)
mais je ne vois pas en quoi cela répond à la question comment trouvez vous cela ?

JE viens de voir que nous on savait que : Im(u)=Ker(i-u) on a le droit d'en déduire que Ker(u)=Im(i-u) ??

Re
oui car tu as démontré que Id-u est un projecteur donc ce qui est vrai pour u l'est aussi pour Id-u

donc dans mon précédent post j'ai bien prouvé l'existence de l'écriture que l'on cherchait
et l'unicité par l'intersection réduite à {0}
Au fait tu as le droit de ne pas être d'accord
et tu peux me tutoyer je ne suis que de très peu ton aînée voilà

Compris??

Merci j'ai compris le Ker(u)=Im(i-u) et l'intersection nulle..
Mais c'est pas que je ne suis pas d'accord, mais je ne comprends pas comment "tu" trouves que x =(Id-u)(x)+u(x) et pourquoi cela montre que Imu+Keru=E

analyse:
Soit x dans E
si une telle décomposition existait on aurait x=x1+x2 avec u1dans Imu et u2dans keru
on aurait alors u(x)=u(x1)=x1 et alors x2=x-u(x)
Synthèse
on pose x=x1+x2 comme dans l'analyse et on montre que ça marche

les u1 et u2 qui traînent sont x1 et x2 respectivement

on a bien (Id-u)(x)=x-u(x) qui appartient à keru et u(x) qui appartient à Imu d'où l'existence de la décomposition

pourquoi on ne pourrait pas avoir x=x1+x2+x3 par exemple ?

que sont x1 x2 et x3??
Ca se pourrait mais pas dans le cadre de cet exercice...
on cherche à montrer que E s'écrit comme une telle somme par définition ça veut dire que tout élément de E s'écrit de façon unique comme somme d'un élément de keru et de Imu

Oui d'accord,
mais pourquoi u(x)=u(x1)=x1  car pour moi à partir de x=x1+x2 on peut dire que u(x)=u(x1)+u(x2)
Dsl, j'ai du mal à comprendre

On cherche à montrer Im(u)+Ker(u)=E
On a clairement C cette inclusion
réciproquement soit x dans E montrons qu'il peut s'écrire x1+x2 avec x1 appartenant à Imu et x2 appartenant à ker u
on peut procéder par analyse je me dis alors
si une telle décomposition existait on aurait x=x1+x2 avec x1dans Imu et x2dans keru par définition d'une somme
on aurait alors u(x)=u(x1+x2)=u(x1)+u(x2)=x1=0=x1 x1 appartient à Imu et x2 à ker u  
de ce fait x2 est entièrement déterminé comme suit pas le choix!! x2=x-u(x)
Synthèse
on pose x=x1+x2 comme dans l'analyse et on montre que ça marche
J'espère que c'est plus clair et aussi ne pas dire de bêtises
je dois y aller mais il y a bien quelqu'un qui daignera te guider si des problèmes venaient à subsister
Bien à toi

pas x1=0 mais x1+0 excuse moi
Allez à plus

Merci beaucoup, j'ai compris.
Merci à un1 et Cauchy de m'avoir aidé.

De rien

Merci à un1 d'avoir pris le relais

Je vous en prie

Pourquoi le fait que dim(im(u))=dim(ker(u)) montre l'autre sens de l'inclusion c'est-à-dire ker(u)CIm(u), pourquoi ce ne serait pas dans l'autre sens ?

Euh dsl, je me suis trompée de topic , rien à signaler pour celui-ci.