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Problème trigonométrie

Posté par
Acidburns 21-01-10 à 21:53

Bonsoir ,


f(x)=33cos^3(x)-sin^3(x)-2(cos²x+1)cos(x+/6)

1/démontrer que : f(x)=1/2 (3cos x - sin x)(cos2x+3sin2x+1)

j'ai essayé tant de démontrer ca mais j'ai pas réussi, merci de m'aider.

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème trigonométrie 21-01-10 à 23:05

Bonsoir,

On utilise d' abord l' identité remarquable (pour les deux premiers termes):

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

et la formule d' addition (pour le dernier terme):

\cos\,(a+b)=\cos\,a\,\cos\,b-\sin\,a\,\sin\,b

f(x)=(\sqrt{3}\,\cos\,x-\sin\,x)(3\,\cos^2x-\sqrt{3}\,\sin\,x\,\cos\,x+\sin^2x)-(\cos^2x+1)(\sqrt{3}\,\cos\,x-\sin\,x)

f(x)=(\sqrt{3}\,\cos\,x-\sin\,x)(2\,\cos^2x+\sin^2x-1+\sqrt{3}\,\sin\,x\,\cos\,x)

f(x)=(\sqrt{3}\,\cos\,x-\sin\,x) (\cos^2x+\sqrt{3}\,\sin\,x\,\cos\,x)

Puis les formules de trigonométrie (dans la dernière parenthèse):

\cos^2x=\frac{1+\cos\,2x}{2} et \sin\,2x=2\,\sin\,x\,\cos\,x

f(x)=\frac{1}{2}(\sqrt{3}\,\cos\,x-\sin\,x)(1+\cos\,2x+\sqrt{3}\,\sin\,2x)

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème trigonométrie 21-01-10 à 23:08

Une fôte de frappe (un signe):

f(x)=(\sqrt{3}\,\cos\,x-\sin\,x)(3\,\cos^2x+\sqrt{3}\,\sin\,x\,\cos\,x+\sin^2x)-(\cos^2x+1)(\sqrt{3}\,\cos\,x-\sin\,x)

Qui ne change rien pour la suite...

Posté par
pppare : Problème trigonométrie 21-01-10 à 23:14

Bonsoir Cailloux

Je vois que t'as rien perdu de ta pêche pr la trtigonométrie (et le reste) ; bons souvenirs de l'été dernier la trigo,

et il est costaud cet exercice pr un niveau 1ère  de 2010 ; il vaut bien ceux de MathsElem de 1952

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème trigonométrie 21-01-10 à 23:18

Bonsoir pppa

Oui, c' est assez inhabituel; pour un éléve qui découvre la trigo (en 1ère), c' est pratiquement perdu d' avance...

Posté par
Acidburnsre : Problème trigonométrie 21-01-10 à 23:54

Waw félicitations et meric beaucoup

j'ai pensé au a^3-b^3 avant mais jme me suis bloqué à la suite

Merci encore :p

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème trigonométrie 21-01-10 à 23:57

De rien Acidburns

Posté par
Acidburnsre : Problème trigonométrie 22-01-10 à 00:19

s'il vous plait une chose que j'ai pas bien retenu et c'est également là ou je me suis bloqué avant

dans
f(x)=(3cosx -sinx)(3cos²x+sin²x-3sinxcosx)-(cos²x+1)(3cosx-sinx)

ta factorisé avec quoi là : (cos²x-3sinxcosx+sin²x)-(cos²x-1)(3cosx-sinx)

pour pouvoir soustraire et en venir là :
(2cos²x+sin²x-1+3sinxcosx)

pour le reste j'ai très bien retenu merci

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème trigonométrie 22-01-10 à 00:26

Citation :
f(x)=(\sqrt{3}\,\cos\,x-\sin\,x)(3\,\cos^2x+\sqrt{3}\,\sin\,x\,\cos\,x+\sin^2x)-(\cos^2x+1)(\sqrt{3}\,\cos\,x-\sin\,x)


On met \sqrt{3}\,\cos\,x-\sin\,x en facteur:

f(x)=(\sqrt{3}\,\cos\,x-\sin\,x)(3\,\cos^2x+\sqrt{3}\,\sin\,x\,\cos\,x+\sin^2x-\cos^2x-1)

f(x)=(\sqrt{3}\,\cos\,x-\sin\,x)(2\,\cos^2x+\sin^2x-1+\sqrt{3}\,\sin\,x\,\cos\,x)

et la suite...

Posté par
Acidburnsre : Problème trigonométrie 22-01-10 à 00:33

ha oui vous avez raison je me suis concentré sur la 2eme partie et pas fait attention à la première ^^

merci

Posté par
cailloux Correcteurre : Problème trigonométrie 22-01-10 à 00:34


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