Le résultat de la partie I 1)b) dit que pour tout x positif, exp(x) >= x+1 donc exp(x) > x et donc exp(x)-x > 0.

Ainsi le dénominateur de la fonction f n'est jamais nul : la fonction f est bien définie sur R+.

J'ai un dm pour lundi et j'ai un problème au niveau de la deuxième partie :

dm:


Partie I:
1) Soit g la fonction définie sur [0;+oo[ par : g(x)=e^x-x-1
      a) montrer que pour tout x>0 on a : g'(x)>0. En déduire le sens de variation de g sur [0;+oo[.
      b) calculer g(0). En déduire le signe de g(x) sur [0;+oo[
2) Soit h la fonction définie sur [0;+oo[ par : h(x)=(2-x)*e^x-1
      a) etudier la fonction h et dresser son tableau de variation; on précisera sa limite en +oo.
      b) montrer que l'equation h(x)=0 admet une solution et une seule A sur [0;+oo[, et que l'on a A>1.
      c) justifier la double inégalité : 1,84<A<1,85
      d) préciser suivant les valeurs du nombre réel x>(ou égal à)0

Partie II:

Soit f la fonction définie sur [0;+oo[ par: f(x)=(e^x-1)/(e^x-x) et C sa représentation dans un repère orthonormal (O,i,j) d'unité 4cm.
1)    a) justifier que f est définie en tout point de [0;+oo[.
      b) Calculer limite quand x tend vers +oo de f(x). (on admettra que limite quand x tend vers +oo, e^x/x=+oo)
Interpréter geométriquement ce résultat.
      c) Montrer que, pour tout x supérieur ou égal à 0, f'(x)=h(x)/[(e^x-x)²]
      d) Etudier les variations de f.
      e) montrer que f(A)=1/(A-1) où A est le réel défini dans la partie I). En déduire à l'aide du résltat du I)2)c) que f(A)=1,185 à 10-2
2)    a) montrer que pour tout x positif on a f(x)-x=(1-x)g(x)/(e^x-x)
      b) En déduire suivant les valeurs de x positif, la position de la courbe C par rapport à la droite D d'equation y=x.
3)Préciser la tangente à C au point d'abscisse 0.




Voilà. J'ai réussit la partie I mais pour la partie II j'ai un problème aux questions 1)a) et toutes les autres questions à partir de la e) inclus.

Voici MES rélsutats :

Partie I
1)    a)g'(x)=e^x-1

g'(x)>0 <=> e^x-1>0
        <=> e^x>1
        <=> e^{[/sup]x>e[sup]0}
        <=> x>0 (car la fonction exponentielle est croissante)
Donc g est croissante sur [0;+oo[
      b) g(o)=e⁰-0-1=1-1=0
Donc g(x) est positif sur [0;+oo[

2)    a)
h'(x)= -e^x+2e^x-xe^x
     = e^x-xe^x
     = e^x(1-x)

Donc h'(x) positif sur [0;1] et négatif sur [1;+oo[
Donc h(x) croissante sur [0;1] et décroissante sur [1;+oo[

limite quand x tend vers +oo de (2-x)e^x-1= -oo
      b)
h(1)=e¹-1 (calcul pour faire le tableau de variation)


Sur [0;1] de [1;e¹-1], h est croissante avec 1 comme minimum donc il n'y a pas de solution sur [0;1] donc A>1.

h est strictement décroissante et continue de [1;+oo[ sur ]-oo;e¹-1]
or 0 appartient à ]-oo;e¹-1]
Donc l'equation h(x)=0 admet une racine unique A sur [1;+oo[

      c)
h(A)=0
h(1,84)=0,00745
h(1,85)=-0,046

Donc h(1,85)<h(A)<h(1,84)
or h est décroissnte sur [1;+oo[
donc 1,85>A>1,84.
      d)
Sur [0;1] h est croissante avec un minimum de 1 donc h(x) est toujours positive sur [0;1]
Sur [1;A] h est décroissante avec un maximum de 1 et un minimum de 0 donc h(x) est toujours positive sur [1;A]
Sur [A;+oo[ h est décroissante avec 0 comme maximum donc h(x) est négatif sur [A;+oo[
Donc h(x) est positif sur [0;A] et négatif sur [A;+oo[



Partie II:

1)     a) j'y suis pas arrivé

       b)
f(x)=(e^x-1)/(e^x-x)=(1-1/e^x)/(1-x/e^x)
(en simplifiant par e^x)

Donc limite quand x tend vers +oo de f(x)=1

géométriquement : il y a une asymptote horizontale d'equation y=1
       c)
f'(x)=[e^x(e^x-x)-(e^x-1)(e^x-1)]/[(e^x-x)²]
     =(e^2x-xe^x-e^2x+2e^x-1)/[(e^x-x)²]
     =[e^x(2-x)-1]/[(e^x-x)²]
     =[h(x)]/[(e^x-x)²]

Et voilà! après je suis bloqué. Si qqn pouvais m'aider à trouver la suite ça serait gentil.
D'avance merci.


*** message déplacé ***

Pour la partie II.1.a.  La condition d'existence est
e^x - x = 0.
Si tu fais le graph de e^x et de x, tu vois immédiatement que pour x>=0 , e^x > x.
Donc si l'interval  [0;+oo[, il n'y a pas de condition d'existence.  Donc la fonction est définie sur cet interval.

Pour le II.1.e, je pense qu'il faut utiliser le fait que e^A-A-1=0, mais je ne retombe pas sur le resultat.

Pour le II.2.a, Ce n'est pas compliqué, il suffit de dévelloper.
Pour le reste, je ferais un dessin des différentes fonctions pour voir ce que je dois trouver.  Je pense que la droite D est la tangente à C en (x=0)


*** message déplacé ***

merci a DDD et a Robethue de m'avoir aidé.
Pour la question e) j'ai trouvé quelquechose de bizarre :

avec ma calculatrice, j'ai trouvé que f(A)=1/(A-1) mais que f(x)1/(x-1).

Je ne sais pas comment je peux faire, ça me dépasse.
Est ce que qqn peut m'aider?

je me suis trompé dans mon message précédent :

avec ma calculatrice, j'ai trouvé que f(A)=1/(A-1) mais que f(x)1/(x-1).

mais ca m'avance pas