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problèmes sur les matrices
Bonjour,
Je n'ai rien compris à mon devoir de MATHS :'( , pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?
Voici l'énoncé :
LA REPRODUCTION DES SAUMONS
On suppose qu'un saumon femelle vit au maximum 3 ans, avec un taux de survie de 0,5% la première année, de 10% la deuxième année, et que chaque femelle donne naissance à 2 000 alevins (femelles) au cours de sa troisième année.
On désigne respectivement par an, bn et cn les effectifs des femelles juvéniles, des femelles de 1 ans et des femelles de 2 ans, n étant un entier naturel qui indique le nombre d'années écoulées depuis l'instant initial (pour n = 0). La population initiale comporte 10 000 femelles dans chacune des trois classes d'âge.
an 10 000
On considère les matrices Pn = bn et P0= 10 000
cn 10 000
QUESTIONS
L'évolution de la population de saumons femelles peut se traduire par Pn+1 = APn, où A est une matrice carré d'ordre 3.
1) Déterminer la matrice A.
2) a. Calculer les effectifs de saumon femelles 1 an après l'instant initial, 2 ans après, 3 ans après, et 4 ans après.
b. En déduire, sans nouveaux calculs, les effectifs pour les années suivantes.
Je vous remercie d'avance 
, ceci dit, une démarche détaillée sera la bien venu pour m'accompagner dans la résolution de mon devoir.
Bonjour,
Si tu n'arrives pas à écrire les expressions, tu peux commencer par chercher a1 , b1 et c1 pour y voir plus clair.
ils disant que:
an est l'effectif des femelles juvéniles
bn " " " " de 1 an
cn " " " " de 2 ans
donc si j'ai bien compris Pn+1 reviendrais à faire an+1, bn+1, et cn+1?
Oui, en les mettant verticalement.
Utilise les conseils que l'on te donne (message de Jezebeth, sinon le mien).
D'après ce que j'ai pue en déduire, il faut que j'arrive à exprimer la matrice du cycle suivant.
Les femelles de 2 ans (cn), donnent naissances aux femelles juvéniles (an), puis les femelles juvéniles deviennent des femelles de 1 an (bn) qui ensuite devient des femelles de 2 (cn).
Je répète : Il faut commencer par exprimer an+1 en fonction de an , bn et cn .
Idem avec bn+1 et cn+1 .
Puis en déduire la matrice A .
Si tu n'y arrives pas, commence par calculer a1 , b1 et c1 .
donc:
2 000 0 0
A= 0 1/200 0
0 0 1/10
Ensuite:
P1= A x P0
P2= A x P1
P3= A x P2
P4= A x P3
je décale de 1 a chaque fois a partir de P2
Ecrit plutôt
an+1 = cn
2000
bn+1 =an0,5/100
cn+1 = bn10/100
Puis
an+1 = 0an + 0bn + 2000 cn
Idem pour bn+1 et cn+1 .
La matrice va alors apparaître.
Ce n'est pas ce que je te demande.
Selon toi, (voir 19h24).
On a et
On calcule avec la formule
Tu fais ce calcul et tu compares avec 19h15:
Pa= c x 2 000
Pb= a x 0,5%
Pc=b x 10%
Il n'y a pas à les « trouver ».
Tu exprimes et
en fonction de
et
.
Ceci en effectuant le produit où:
- est la matrice que tu as indiquée à 19h24 soit
-
Si tu ne sais pas faire le produit de deux matrices à savoir ici:
Il est inutile d'aller plus loin.
Je te rappelle à toutes fins utiles que:
L'évolution de la population de saumons femelles peut se traduire par Pn+1 = APn, où A est une matrice carré d'ordre 3.
P1 = A x P0
P1 = 20 000 000
50
1000
P2 = A × P1
P2 = 20 000 000
100 000
5
P3 = A x P2
P3 = 10 000
10 000
10 000
P4 = A × P3
P4 = 20 000 000
50
1 000
Très juste (il y a un zéro de trop dans la 1ère ligne de )
A , tu retombes sur
Autrement dit, tes matrices sont périodiques de période 3:
Autrement dit encore, il suffit de connaître les 3 premières: et
et on les a toutes:
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