Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Maths sup AlgèbreTopics traitant de algèbre [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Maths sup
Partager :

produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo)

Posté par gtaman (invité) 19-12-05 à 16:37

bonjour à tous,bon voila je bloque sur une question d'un exo,enfin je ne comprends pas vraiment la consigne en fait,j'ai déja répondu aux 2 questions précédentes,je vous remet l'énoncé et les réponses aus 2 premiers questions

soit  n* et 0kn et pour tt x on pose:

k(x)= (ei*((k/n)-x))/(2*i)
y(x)=e2*i*x

Sk(x)=k(x)*(y(x)-e(-2*i*k*x)/n)


1)on montre que Sk(x)=sin(x+(k)/n) (ça j'ai déja fait
2) soit Pn(x)=

soit Pn(x)= 3$\prod_{k=0}^{n-1} \alpha_k(x)
on montre que Pn(x)=4$\frac{-i}{2n}\times e^{inx}(ça j'ai fait)

bon voila où je bloque
3)pour tout x,soit A(x)=3$\prod_{k=0}^{n-1} sin(x+\frac{k\pi}{n})
a) montrer qu'on a les égalités suivantes entre polynomes
3$X^n - 1=\prod_{k=0}^{n-1}(X-e^{\frac{-2ik\pi}{n}})
b)expimer A(x) en fonction de sin(nx)

bon voila,je bloque à la question a) donc si quelqu'un pourrait m'expliquer comment faire ou en fait qu'est ce que je cherche se serait sympa,merci d'avance de vos réponses.

bonne après-midi à tous

Posté par danskala (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 19-12-05 à 16:47

salut,

es-tu sûr de la présence du signe moins dans 3$e^{\frac{-2ik\pi}{n}} dans la relation 3)a) ?

Posté par gtaman (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 19-12-05 à 16:51

oui certains regarde le Sk il y a un - dans l'exponentielle

Posté par biondo (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 19-12-05 à 17:02

Salut,

Piur la 3a): il faut montrer l'égalité de deux polynômes.

Moi je ferais: ils ont tous les deux les memes n racines distinctes.
Ils sont de même degré.
Leur coefficient dominant est égal à 1.

Donc ils sont égaux.

A+
biondo

Posté par papou_28 (invité)réponse 19-12-05 à 17:12

il suffit de dire que X^n = 1 a n solutions distincts : }{n}" alt="e^-ifrac\{2k}{n}" class="tex" />
pour k variant de 0 à n-1
ainsi X^n - 1 = an racines .
et après tu conclues

Posté par papou_28 (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 19-12-05 à 17:12

pardon pour latex je ne maitrise pas encore

Posté par gtaman (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 19-12-05 à 17:54

mais est ce que si 2 polynomes ont les meme racines ils sont forcément égaux???

Posté par dementor (invité)oui ils sont égaux si... 19-12-05 à 18:04

il faut qu'ils aient mm racines mais aussi mm coeff dominant, pour le voir tu les écris tous les deux sous forme factorisée

Posté par gtaman (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 19-12-05 à 18:32

euh oué,mais ces quoi les coeff dominants??? et pour les écrire sous forme factorisé je fais comment ici vue que c'est en fonction des n.
quelqu'un a-t-il réussi à faire la question????

Posté par biondo (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 19-12-05 à 18:47

Le coefficient dominant c'est le coefficient du terme de plus haut degré: ici, X^n. DOnc coeff dominant égal à 1.



Posté par gtaman (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 19-12-05 à 18:51

ha ok,je viens d'essayer de faire ce que vous avez dit mais je ne m'en sors pas,bref, quelqun aurait une solution à me proposer pour la b) ????merci d'avance et merci à tous ceux qui m'ont déja répondu

Posté par gtaman (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 19-12-05 à 19:43


Posté par gtaman (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 20-12-05 à 22:13

Posté par gtaman (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 21-12-05 à 14:32

bon alors personne n'est arrivé à faire la question??

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : produit de fonction 22-12-05 à 12:17

Bonjour;
3)b):
Commençons par remarquer que \fbox{et\{{(\forall x\in\mathbb{R})\hspace{5}A(x+\frac{\pi}{n})=-A(x)\\(\forall x\in[0,\frac{\pi}{n}])\hspace{5}A(x)\ge0} pour tout \fbox{x\in[0,\frac{\pi}{n}]} on peut alors écrire:
\fbox{A^2=\Bigprod_{k=0}^{n-1}sin^2(x+\frac{k\pi}{n})=\frac{1}{4^n}\Bigprod_{k=0}^{n-1}(e^{2ix}-e^{-\frac{2ik\pi}{n}})(e^{-2ix}-e^{\frac{2ik\pi}{n}})=\frac{1}{4^n}(e^{2inx}-1)(e^{-2inx}-1)} et donc \fbox{A=\frac{|e^{2inx}-1|}{2^n}=\frac{sin(nx)}{2^{n-1}}}
et il suffit maintenant d'utiliser la remarque pour voir qu'en fait on a:
3$\red\fbox{(\forall x\in\mathbb{R})(\forall n\in{\mathbb{N}}^*)\hspace{5}A(x)=\Bigprod_{k=0}^{n-1}sin(x+\frac{k\pi}{n})=\frac{sin(nx)}{2^{n-1}}}

Sauf erreurs...

Posté par dilzydils (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 22-12-05 à 13:14

Je reviens à l'énoncé de la question 3.a),
Je pense que l'égalité n'est vrai que s'il s'agit des racines n-iemes de l'unité, donc, je ne vois pas ce que le signe moins ds l'exponentielle vient faire ici.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : produit de fonction 22-12-05 à 13:30

Bonjour dilzydils;
le polynome \fbox{P(X)=X^n-1} est à coefficients réels ainsi \fbox{P(z)=0\Longleftrightarrow P(\bar{z})=0} et comme ses racines sont les \fbox{e^{\frac{2ik\pi}{n}}\\0\le k\le n-1} les \fbox{e^{-\frac{2ik\pi}{n}}\\0\le k\le n-1} aussi et on a bien alors \fbox{P(X)=\Bigprod_{k=0}^{n-1}(X-e^{\frac{2ik\pi}{n}})=\Bigprod_{k=0}^{n-1}(X-e^{-\frac{2ik\pi}{n}})}.
D'ailleurs le changement d'indice \fbox{k\to n-k} donne ce résultat trivialement.
Sauf erreurs...

Posté par gtaman (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 22-12-05 à 13:30

merci elhor je suis également arrivé à ce résultat d'une autre façon.
pour la 3)a) je viens de nouveau de vérifier l'énoncé du DM et il y a bien un moins dans l'exponentielle.

maintenant j'ai un autre probleme!
on suppose n impair(n=2m+1,m) et x
4) exprimer sin(n(x+/2)) en fonction de cos(nx)
je trouve sin(n(x+/2))=cos(nx) si x est de la forme 4p+1
          sin(n(x+/2))=-cos(nx) si x est de la forme 4p+3
ça je pense que c'est juste(si quelqun veut vérifier au cas ou)

b) (voici mon probleme) en utilisant le résultat de la 3b) (voir réponse de elhor en rouge) donner l'expression de cotan(nx)=(cos(nx))/(sin(nx)) en fcontion des nombres (cotan(x+k/n) ou k{0,1,...,n-1}

j'ai remplacer les sin et cos avec les expressions précédentes mais je n'arrive pas à n'avoir qu'avec les nombres demandés!

merci d'avance à ceux qui s'interresseront à mon probleme et merci à ceux qui l'ont déja fait

Posté par gtaman (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 22-12-05 à 13:33

ha ok merci elhor
j'ai compris ça y est pour le 3a
mais bon ça je n'arrive toujours pas à faire la 4

Posté par gtaman (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 22-12-05 à 21:48


Posté par
kaiser Moderateurre : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 22-12-05 à 22:03

Bonsoir Glatman

Là, y'a pas de secret : formule de trigo !!!
sin(n(x+\frac{\pi}{2}))=sin(nx)cos(n\frac{\pi}{2})+cos(nx)sin(n\frac{\pi}{2})
Or n=2m+1, alors cos(n\frac{\pi}{2})=cos(m\pi+\frac{\pi}{2})=(-1)^{m}cos(\frac{\pi}{2})=0
Et on a aussi, sin(n\frac{\pi}{2})=sin(m\pi+\frac{\pi}{2})=(-1)^{m}sin(\frac{\pi}{2})=(-1)^{m}=(-1)^{\frac{n-1}{2}}

Finalement, on a sin(n(x+\frac{\pi}{2}))=(-1)^{\frac{n-1}{2}}cos(nx)

Kaiser

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : produit de fonction 23-12-05 à 00:31

Bonsoir;
Avec \fbox{n\hspace{5}impair} on a effectivement comme l'a montré Kaiser: \fbox{\forall x\in\mathbb{R}\\sin(n(x+\frac{\pi}{2}))= (-1)^{\frac{n-1}{2}}cos(nx)}
donc \fbox{A(x+\frac{\pi}{2})=\Bigprod_{k=0}^{n-1}cos(x+\frac{k\pi}{n})=\frac{sin(n(x+\frac{\pi}{2}))}{2^{n-1}}=\frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}}cos(nx)}{2^{n-1}}}
ainsi pour \fbox{x\notin\pi\mathbb{Q}} on voit que 3$\red\fbox{\frac{A(x+\frac{\pi}{2})}{A(x)}=\Bigprod_{k=0}^{n-1}cotan(x+\frac{k\pi}{n})=(-1)^{\frac{n-1}{2}}cotan(nx)}

Sauf erreurs...

Posté par gtaman (invité)re : produit de fonction (titre difficile à donner vu lexo) 23-12-05 à 18:24

merci a vous 2 je vais essayer de ce pas de le faire tt seul!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !